Цикл в виде равнобедренного треугольника

Из условий задачи найдите координаты всех вершин треугольника. Для КПД выясните, до какой точки на процессе \(2 - 3\) тепло продолжает подводиться, и найдите её, максимизируя подведённое тепло.

Учитывая разную размерность осей на диаграмме \(P - V\), у данного равнобедренного треугольника равными могут быть только боковые стороны. Так как процесс \(1 - 2\) лежит на прямой, проходящей через начало координат, \(V_2 / V_1 = P_2 / P_1 = 2\), откуда \(V_2 = 2 V_1\). Из симметрии треугольника относительно высоты, опущенной из точки 2, следует \(V_3 - V_2 = V_2 - V_1 = V_1\), следовательно, \(V_3 = 3 V_1\). Таким образом, известны координаты всех вершин этого треугольника.

Работа вычисляется как площадь треугольника \(1 - 2 - 3\): \[A = \dfrac{(P_2 - P_1)(V_3 - V_1)}{2} = \dfrac{(2P_1 - P_1)(3V_1 - V_1)}{2} = P_1 V_1.\] Для нахождения КПД необходимо найти количество подведённой теплоты. Теплота подводится в процессе \(1 - 2\) и на некотором участке \(2 - x\) процесса \(2 - 3\): \[Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \dfrac{3}{2}\nu R \Delta T_{12} + \dfrac{1}{2}(P_2 + P_1)(V_2 - V_1) = \dfrac{3}{2}(P_2 V_2 - P_1 V_1) + \dfrac{1}{2}(P_2 + P_1)(V_2 - V_1) = 6 P_1 V_1.\] Чтобы найти \(Q_{2x}\), нужно определить точку \(x\), в которой перестаёт подводиться теплота. Это можно сделать, представив подведённую теплоту на участке \(2 - x\) как функцию объёма \(Q_{2x}(V_x)\) и найдя её максимум на отрезке \(V_x \in [V_2; V_3]\). Так как треугольник равнобедренный, наклон процесса \(1 - 2\) совпадает с наклоном \(2 - 3\). Пусть \(P_1 / V_1 = \alpha\), тогда \(P_x(V_x) = P_2 - \alpha(V_x - V_2) = \alpha(2V_2 - V_x)\). Тогда \[Q_{2x} = \Delta U_{2x} + A_{2x} = \dfrac{3}{2}\nu R\,\Delta T_{2x} + \dfrac{1}{2}(P_2 + P_x)(V_x - V_2) = \alpha (V_x - V_2)(3V_2 - 2V_x).\] \(Q_{2x}(V_x)\) представляет собой параболу с ветвями вниз и корнями \(V_2\) и \(\tfrac{3}{2}V_2 = V_3\). Вершина параболы расположена симметрично между корнями: \(V_x = \tfrac{5}{4} V_2 = \tfrac{5}{2} V_1\). Максимум достигается при \(V_x = \tfrac{5}{2} V_1\). Тогда подведённое количество теплоты на участке \[Q_{2x} = \alpha\left(\tfrac{5}{2}V_1 - 2V_1\right)\left(6V_1 - 5V_1\right) = \tfrac{1}{2}\alpha V_1^2 = \tfrac{1}{2} P_1 V_1.\] Тогда КПД: \[\eta = \dfrac{A}{Q_{12} + Q_{2x}} = \dfrac{P_1 V_1}{6 P_1 V_1 + \tfrac{1}{2} P_1 V_1} = \dfrac{2}{13} \approx 15{,}4\%.\]