Граница простреливаемой области

Запишите траекторию снаряда как квадратное уравнение относительно \(\operatorname{tg}\alpha\). Граница области отвечает случаю одного корня, то есть нулевому дискриминанту.

Рассмотрим снаряд, выпущенный под произвольным углом \(\alpha\) к горизонту: \[\begin{cases} x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \\ y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \dfrac{g t^2}{2} \end{cases}\] Его траектория описывается уравнением \[y(x) = x\operatorname{tg}\alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} = x\operatorname{tg}\alpha - \dfrac{g x^2}{2 v_0^2}\left(1 + \operatorname{tg}^2\alpha\right).\] Рассмотрим это уравнение относительно переменной \(p = \operatorname{tg}\alpha\) при заданных \((x, y)\): \[p^2 \cdot \dfrac{g x^2}{2 v_0^2} - p \cdot x + \left(y + \dfrac{g x^2}{2 v_0^2}\right) = 0.\] Решением такого уравнения будет угол \(\alpha\), под которым надо выстрелить, чтобы попасть в точку с заданными координатами. Уравнение квадратное, поэтому возможны три случая: два корня (точку можно поразить двумя способами), один корень (единственным способом) и отсутствие корней (точка недостижима). Эти случаи делят вертикальную плоскость на две области. Граница «простреливаемой» области соответствует одному корню, а для квадратного уравнения это равносильно равенству нулю дискриминанта: \[D(x, y) = x^2 - 4 \cdot \dfrac{g x^2}{2 v_0^2}\left(y + \dfrac{g x^2}{2 v_0^2}\right) = 0.\] Отсюда \[y(x) = \dfrac{v_0^2}{2g} - x^2 \cdot \dfrac{g}{2 v_0^2}\] — искомое уравнение границы.