Бусинки на проволочном угле

Выразите скорости бусинок через угол наклона стержня: их проекции на стержень равны. Далее найдите максимум скорости второй бусинки как функции угла.

Рассмотрим промежуточное положение системы, когда стержень наклонён к горизонту под углом \(\varphi\). Скорости бусинок в этом положении обозначим через \(V_1\) и \(V_2\). Отсчитывая высоты от вершины угла, запишем закон сохранения энергии: \[m g L \sin\alpha = \dfrac{m V_1^2}{2} + \dfrac{m V_2^2}{2} + m g L \sin\varphi \quad \Rightarrow \quad V_1^2 + V_2^2 = 2 g L (\sin\alpha - \sin\varphi).\] Здесь \(m\) — масса бусинок. Так как длина стержня не меняется при движении, проекции скоростей на направление стержня совпадают: \[V_1 \sin\varphi = V_2 \cos\varphi.\] Исключая скорость \(V_1\), находим \(V_2\) как функцию угла \(\varphi\): \[V_1 = V_2 \operatorname{ctg}\varphi \quad \Rightarrow \quad V_2^2 = 2 g L \sin^2\varphi\,(\sin\alpha - \sin\varphi).\] Угол \(\varphi\) меняется на отрезке \([0, \alpha]\). На концах отрезка скорость \(V_2\) обращается в нуль. Найдём экстремумы \(V_2\). Приравнивая нулю первую производную по \(\varphi\), получаем: \[\sin\varphi\cos\varphi\,(2\sin\alpha - 3\sin\varphi) = 0.\] Максимуму соответствует корень \(\sin\varphi = \dfrac{2\sin\alpha}{3}\). Максимальная скорость второй бусинки равна: \[V^2 = 2 g L \left(\dfrac{2\sin\alpha}{3}\right)^2\left(\sin\alpha - \dfrac{2\sin\alpha}{3}\right) = g L \left(\dfrac{2\sin\alpha}{3}\right)^3,\] \[V = \sqrt{gL}\left(\dfrac{2\sin\alpha}{3}\right)^{3/2} \approx 0{,}53~\text{м/с}.\]