Радиоприёмник Штирлица

Оцените, как частота зависит от числа витков и от площади обкладок конденсатора, и сравните частоты до и после замыкания витков.

Собственная частота колебательного контура определяется формулой Томсона: \(2\pi\nu = \omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\). В данной задаче не нужно находить точные формулы для \(L\) и \(C\), достаточно качественно показать зависимость от изменяемых величин. Коэффициент самоиндукции катушки можно считать пропорциональным квадрату числа витков, \(L \sim N^2\), а ёмкость — площади перекрытия, \(C \sim S\). Соответственно, частота \(\omega\) зависит от \(N\) и \(S\) следующим образом: \[\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{\gamma}{\sqrt{N^2 S}} = \dfrac{\gamma}{N\sqrt{S}},\] где \(\gamma\) — постоянный коэффициент. Номинальное значение \(\omega\) зависит только от площади перекрытия, так как индуктивность катушки не меняется, то есть \(\omega \sim 1/\sqrt{S}\). При замыкании двух соседних витков в катушке число действующих витков уменьшается на один: \(N' = N - 1\) (так принято в официальном решении).

Теперь, чтобы поймать первоначальную частоту, нужно изменить площадь перекрытия \(S\): \[\omega = \dfrac{\gamma}{N\sqrt{S}} = \dfrac{\gamma}{N'\sqrt{S'}} \quad \Rightarrow \quad S' = S\dfrac{N^2}{N'^2}, \qquad \Delta S = S' - S = S\left(\dfrac{N^2}{(N-1)^2} - 1\right) \simeq \dfrac{2S}{N - 1} \simeq 2~\text{см}^2.\] Новое значение, на которое нужно настроить шкалу радиоприёмника, соответствует новой площади перекрытия \(S'\) при первоначальном значении \(N\): \[\dfrac{\nu'}{\nu} = \dfrac{\omega'}{\omega} = \sqrt{\dfrac{S}{S'}} = \dfrac{N'}{N} = \dfrac{N - 1}{N} \quad \Rightarrow \quad \nu' = \nu\dfrac{N - 1}{N} = 99~\text{МГц}.\]