Тетраэдр из резисторов и источников

Перерисуем тетраэдр в виде эквивалентной электрической схемы (мост Уитстона) и пронумеруем элементы как показано на рисунке.

Запишем систему уравнений на токи и напряжения при условии, что ключ \(K\) замкнут. Из всех возможных уравнений выберем те, которые содержат \(I_6\), этого достаточно: \[\begin{cases} I_3 + I_6 - I_2 = 0 & \text{узел } C \\ I_5 + I_6 - I_4 = 0 & \text{узел } D \\ I_3 R_3 - I_6 R_6 + I_5 R_5 = \mathcal{E}_3 - \mathcal{E}_6 + \mathcal{E}_5 & \text{контур } ACD \\ I_2 R_2 + I_4 R_4 + I_6 R_6 = \mathcal{E}_2 + \mathcal{E}_4 + \mathcal{E}_6 & \text{контур } BCD \end{cases}\] При размыкании ключа \(K\) ток \(I_1\) обратится в ноль, что приведёт к изменению других токов, но ток \(I_6\) по условию должен остаться неизменным. Обозначим новые токи \(I'_2, I'_3, I'_4, I'_5\). Для них система уравнений будет выглядеть так же, с заменой «нештрихованных» токов на «штрихованные». Сопоставив две системы, получим: \[I'_3 - I_3 = I'_2 - I_2, \qquad I'_5 - I_5 = I'_4 - I_4,\] \[R_3(I'_3 - I_3) = R_2(I'_2 - I_2), \qquad R_5(I'_5 - I_5) = R_4(I'_4 - I_4).\] Откуда получаем условие \[\dfrac{R_5}{R_3} = \dfrac{R_4}{R_2}.\] Также заметим, что в задаче существует тривиальное решение: при \(R_{AB} = \infty\) и любых конечных значениях остальных сопротивлений \(I_1\) всегда равен нулю вне зависимости от состояния ключа \(K\).