Система грузов

Рассмотрите сначала систему как одно тело, затем груз \(m_1\) отдельно и условие отсутствия проскальзывания \(F_{\text{тр}} \le \mu N_1\).

1. Пока грузы \(M\) и \(m_1\) движутся как одно целое, будем считать их одним телом массой \(M + m\) сложной формы. Внешние силы, действующие на это тело, — сила тяжести, сила реакции стола и сила натяжения нити \(T_1\); на груз \(m_2\) действуют сила натяжения \(T_2\) и сила тяжести \(mg\).

2. Будем считать систему отсчёта, связанную со столом, инерциальной. Второй закон Ньютона в проекциях на оси \(Ox\) и \(Oy\) для каждого из тел: \(Ox\): \((M+m)a_1 = T_1\); \(Oy\): \(m a_2 = mg - T_2\). Учитывая, что \(T_1 = T_2 = T\) (нить лёгкая, скользит по блоку без трения), \(a_1 = a_2 = a\) (нить нерастяжима), и складывая уравнения, получим \((M+2m)a = mg\), откуда \(a = g\dfrac{m}{M+2m}\).

3. Рассмотрим груз \(m_1\) отдельно. Второй закон Ньютона в проекциях: \(Ox\): \(ma = F_{\text{тр}}\); \(Oy\): \(mg - N_1 = 0\); при отсутствии проскальзывания \(F_{\text{тр}} \le \mu N_1 = \mu mg\). Отсюда \(a \le \mu g\), т.е. \(g\dfrac{m}{M+2m} \le \mu g\). Решая неравенство относительно \(m\), получим \(m \le \dfrac{\mu M}{1-2\mu} = 0{,}4\) кг.

Ответ: \(m \le 0{,}4\) кг.