Равновесия

Суммарный заряд шариков нулевой, так что поле действует на систему из двух шариков без результирующей силы. Запишите равновесие одного шарика с силами натяжения, тяжести, поля и кулоновского притяжения.

Сначала сила натяжения верхней нити уравновешивала силу тяжести, действующую на «тело» из двух шариков, соединённых нижней нитью: \(T_0 = 2mg\), откуда \(m \approx 61{,}16\) г и радиус шариков \(r = \sqrt[3]{\dfrac{3m}{4\pi\rho}} \approx 11{,}8\) мм. Это почти в 25 раз меньше длины нити, поэтому для кулоновского притяжения используем закон Кулона для точечных зарядов.

Суммарный заряд шариков равен нулю, поэтому суммарная сила поля, действующая на «тело» из двух шариков, тоже равна нулю. Значит, верхняя нить во всех случаях остаётся вертикальной: \(\alpha_1 = \tilde\alpha_1 = 0\).

После включения поля на каждый шарик действуют силы \(\pm qE\) и кулоновское притяжение \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\), где \(R = L + 2r \approx 314{,}6\) мм. Силы натяжения нижней нити сонаправлены с кулоновскими, поэтому их можно объединить в силу \(\vec F = \vec F_C + \vec T\). Из условия равновесия шарика, при угле \(\alpha\) нижней нити с вертикалью, \[F\sin\alpha = qE, \qquad F\cos\alpha = mg \;\Rightarrow\; \tan\alpha = \frac{qE}{mg} = \frac{7}{24}, \qquad F = \frac{25}{24}\,mg = 0{,}625~\text{Н},\] то есть \(\alpha \approx 16{,}3^\circ\). Это верно при натянутой нижней нити: \(T = F - F_C = \dfrac{25}{48}T_0 - \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2} \approx +0{,}057\) Н \(> 0\).

При уменьшении поля в три раза \(\tan\tilde\alpha = \dfrac{7}{72}\), \(\tilde\alpha \approx 5{,}6^\circ\), \(\tilde F = \dfrac{\sqrt{5233}}{72}\,mg \approx 0{,}603\) Н; нить снова натянута.

Важно учитывать радиус шариков: без этой поправки \(F_C = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0L^2} \approx 0{,}664\) Н, и нижняя нить оказалась бы ненатянутой уже при первом значении напряжённости; тогда шарики «прилипли» бы друг к другу, разрядились, и все ответы были бы некорректными.