График полёта

Условие \(v_r = 0\) означает, что вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору. Запишите скалярное произведение \(\vec v\cdot\vec r\) как квадратное уравнение относительно времени.

Законы изменения скорости и перемещения: \(\vec v = \vec v_0 + \vec g t\), \(\vec r = \vec v_0 t + \dfrac{\vec g t^2}{2}\). Условие \(v_r = 0\) означает \(\vec v\cdot\vec r = 0\), откуда \[v_0^2 + \frac{3}{2}\,(\vec g\cdot\vec v_0)\,t + \frac{1}{2}\,g^2t^2 = 0.\] Так как \(\vec g\cdot\vec v_0 = -g v_0\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол наклона \(\vec v_0\) к горизонту, момент обращения \(v_r\) в ноль — единственный корень квадратного уравнения \(t^2 - \dfrac{3}{g}v_0\sin\alpha\,t + \dfrac{2}{g^2}v_0^2 = 0\). Приравнивая дискриминант нулю, находим \(\sin\alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}\), то есть \(\alpha \approx 70{,}5^\circ\). При этом \(t_0 = \dfrac{\sqrt2\,v_0}{g}\), откуда \[v_0 = \frac{g\,t_0}{\sqrt2} \approx 6{,}48~\text{м/с}.\]