Топка для снега

Пока в термосе есть лёд, температура не растёт: кипяток отдаёт тепло на плавление льда. Составьте баланс для момента, когда лёд только что растаял, и баланс масс для объёма термоса.

Система находится при нормальном атмосферном давлении, поэтому температура мокрого снега \(t_0 = 0\) °C, а температура кипятка \(t_K = 100\) °C. Пока в термосе есть лёд, температура не меняется, так как кипяток остывает, отдавая тепло на таяние льда. Кипяток подают очень медленно, поэтому содержимое термоса в каждый момент находится практически в равновесии.

Пусть в термосе были вода массой \(M_0\) и лёд массой \(m_0\), а за время \(\tau_1\) поступил кипяток массой \(M_1\). Тогда из теплового баланса \[\lambda m_0 = c M_1 (t_K - t_0) \;\Rightarrow\; M_1 = \frac{\lambda}{c(t_K-t_0)}\,m_0 = \frac{4}{5}\,m_0.\] Лёд полностью растаял как раз к моменту \(\tau_1\). Из объёмов (\(\rho_0 = 1\), \(\rho = 0{,}9\)): \[0{,}5\,V = \frac{m_0}{\rho} + \frac{M_0}{\rho_0}, \qquad 0{,}7\,V = \frac{m_0 + M_0 + M_1}{\rho_0},\] откуда \(m_0 = \dfrac{9}{31}\rho_0 V\), \(M_0 = \dfrac{11}{62}\rho_0 V\), \(M_1 = \dfrac{36}{155}\rho_0 V\).

Поступление кипятка идёт с постоянным расходом \(M_1/\tau_1\), поэтому до полного заполнения (ещё \(0{,}3\,V\)) пройдёт \[\Delta\tau = \frac{0{,}3\,\rho_0 V}{M_1}\,\tau_1 = \frac{31}{24}\,\tau_1 = 31~\text{с}.\] Тепловой баланс за этот промежуток: \(0{,}7\,\rho_0V\,(t - t_0) = 0{,}3\,\rho_0V\,(t_K - t)\), откуда \(t = 0{,}3\,t_K + 0{,}7\,t_0 = 30\) °C.