Гирлянда на ёлке

Какой ток течёт по участку провода перед \(k\)-й лампочкой? Учтите, что он питает все лампочки, стоящие дальше по гирлянде.

Обозначим напряжение на последней лампочке через \(U_N\), на \(k\)-й лампочке — через \(U_k\). Рассмотрим участок провода между \((k-1)\)-й и \(k\)-й лампочками. Через него протекает ток, питающий лампочки с номерами \(k, k+1, \dots, N\): \[I_k = (N - k + 1)\,I_0 .\] Сопротивление участка каждого провода равно \(R\), поэтому падение напряжения между проводами на этом участке: \[\Delta U_k = R I_k + R I_k = 2R(N - k + 1)\,I_0 .\] Напряжение на \(N\)-й лампочке равно напряжению источника минус сумма падений на всех \(N\) участках: \[U_N = U_0 - \sum_{k=1}^{N}\Delta U_k = U_0 - 2RI_0\sum_{k=1}^{N}(N - k + 1) .\] Так как \(\sum_{k=1}^{N}(N - k + 1) = 1 + 2 + \dots + N = \dfrac{N(N+1)}{2}\), получаем \[U_N = U_0 - R I_0\, N(N+1) .\] По условию \(U_N = 0{,}8\,U_0\), значит \[U_0 - R I_0 N(N+1) = 0{,}8\,U_0 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}2\,U_0 = R I_0 N(N+1) .\] Подставим данные, учитывая что \(I_0 = 40\text{ мА} = 0{,}04\text{ А}\): \[0{,}2\cdot 240 = 2\cdot 0{,}04\cdot N(N+1) \quad\Longrightarrow\quad 48 = 0{,}08\,N(N+1) .\] Отсюда \(N(N+1) = \dfrac{48}{0{,}08} = 600\). Решая уравнение \(N^2 + N - 600 = 0\) и выбирая положительный корень: \[N = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + 2400}}{2} = \dfrac{-1 + 49}{2} = 24 .\]