Фольга в растворе соли

Фольга соединяет между собой точки с одинаковым потенциалом. Разбейте зазор на участки, каждый из которых является отдельным резистором, и найдите, как они соединены.

Пусть удельное сопротивление раствора равно \(\rho\), а площадь каждой пластины равна \(S\). Тогда исходное сопротивление (однородный зазор толщины \(d\)) равно \[R = \dfrac{\rho d}{S} .\] Фольга идеально проводящая, поэтому она играет роль соединительных проводов пренебрежимо малого сопротивления между четырьмя частями раствора, каждая из которых представляет собой отдельный резистор. Весь зазор распадается на два последовательных «слоя»: между верхней пластиной и фольгой и между фольгой и нижней пластиной. Из-за изгиба фольги каждый слой состоит из двух параллельных участков площади \(S/2\): в одном месте толщина слоя равна \(d_1\), в другом — \(d_2\). Эквивалентная схема:

\[(R_1 \parallel R_2) \text{ последовательно с } (R_3 \parallel R_4) .\] Сопротивление слоя раствора толщины \(x\) и площади \(S/2\) равно \(\rho x/(S/2)\), поэтому \[R_1 = \dfrac{2\rho d_1}{S}, \quad R_2 = \dfrac{2\rho d_2}{S}, \quad R_3 = \dfrac{2\rho(d - d_1)}{S}, \quad R_4 = \dfrac{2\rho(d - d_2)}{S} .\] Тогда \[R' = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3R_4}{R_3 + R_4} = \dfrac{2\rho}{S}\left(\dfrac{d_1d_2}{d_1 + d_2} + \dfrac{(d - d_1)(d - d_2)}{2d - d_1 - d_2}\right) .\] Выразим через \(R = \rho d/S\): \[\dfrac{R'}{R} = \dfrac{2}{d}\left(\dfrac{d_1d_2}{d_1 + d_2} + \dfrac{(d - d_1)(d - d_2)}{2d - d_1 - d_2}\right) .\] Подставим \(d = 10\), \(d_1 = 6\), \(d_2 = 4\) (в одних и тех же единицах): \[\dfrac{d_1d_2}{d_1 + d_2} = \dfrac{6\cdot 4}{6 + 4} = 2{,}4, \qquad \dfrac{(d - d_1)(d - d_2)}{2d - d_1 - d_2} = \dfrac{4\cdot 6}{20 - 10} = 2{,}4 .\] Тогда \[\dfrac{R'}{R} = \dfrac{2}{10}(2{,}4 + 2{,}4) = 0{,}96 .\]