Горячий шар в калориметре

Запишите тепловой баланс для каждого погружения отдельно. Затем выразите изменение температуры после второго погружения через \(Mc\) и \(mc_в\) и найдите, при каком соотношении этих величин оно максимально.

После первого погружения температура воды становится \(t_1\). По тепловому балансу тепло, отданное шаром, равно теплу, полученному водой: \[Mc(T - t_1) = m c_в (t_1 - t_0) .\] Так как \(t_0 = 0\), получаем \[t_1 = \dfrac{Mc}{Mc + m c_в}\,T .\] После второго погружения температура становится \(t_2\). Тепловой баланс: \[Mc(T - t_2) = m c_в (t_2 - t_1) ,\] откуда \[t_2 = \dfrac{Mc\,T + m c_в\, t_1}{Mc + m c_в} .\] Подставляя \(t_1\), получаем \[t_2 = T\,\dfrac{Mc\,(Mc + 2 m c_в)}{(Mc + m c_в)^2} .\] Повышение температуры воды во втором погружении: \[\Delta t_2 = t_2 - t_1 = T\left(\dfrac{Mc(Mc + 2mc_в)}{(Mc + mc_в)^2} - \dfrac{Mc}{Mc + mc_в}\right) = T\,\dfrac{(Mc)(mc_в)}{(Mc + mc_в)^2} .\] Обозначим \(A = Mc\), \(B = mc_в\). Тогда \(\Delta t_2 = T\dfrac{AB}{(A+B)^2}\). Заметим, что \(4AB = (A+B)^2 - (A-B)^2\), поэтому \[\Delta t_2 = \dfrac{T}{4}\left(1 - \left(\dfrac{A - B}{A + B}\right)^2\right) .\] Величина \(\left(\dfrac{A-B}{A+B}\right)^2\) неотрицательна и обращается в ноль при \(A = B\). Следовательно, \(\Delta t_2\) максимально при \(Mc = m c_в\), то есть \[c = \dfrac{m c_в}{M} ,\] и при этом \(\Delta t_{2,\max} = \dfrac{T}{4}\).

Подставляя числа: \[c = \dfrac{1{,}0\cdot 4200}{4{,}0} = 1050\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot{}^\circ\text{C}}, \qquad \Delta t_{2,\max} = \dfrac{100}{4} = 25^\circ\text{C} .\]