Тепловой фронт в восьмиугольнике

Какие точки одновременно достигнуты фронтами двух соседних источников? Попробуйте найти фигуру, образованную двумя вершинами восьмиугольника и двумя точками пересечения фронтов.

Обозначим через \(A\), \(C\), \(E\), \(G\) вершины восьмиугольника с номерами 1, 3, 5, 7 соответственно, то есть именно в них расположены источники теплоты. Через время \(t = \dfrac{a}{v}\) тепловой фронт от каждого источника представляет собой окружность радиуса \[R = vt = a .\] Рассмотрим два соседних источника, например в вершинах \(A\) и \(C\). Между ними находится вершина \(B\) (с номером «2»). Так как восьмиугольник правильный, то \(AB = BC = a\), \(\angle ABC = 135^\circ\).

Поскольку \(AB = a = R\) и \(CB = a = R\), точка \(B\) лежит одновременно на обеих окружностях, то есть является одной из точек их пересечения. Обозначим вторую точку пересечения через \(P\).

Четырёхугольник \(ABCP\) имеет все стороны равными \(a\): \(AB = BC = a\) (стороны восьмиугольника), \(PA = PC = a\) (точка \(P\) лежит на обеих окружностях радиуса \(a\)). Следовательно, \(ABCP\) — ромб со стороной \(a\).

В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Угол при вершине \(B\) известен, \(\angle ABC = 135^\circ\), тогда \(\angle APC = 135^\circ\), а углы при вершинах \(A\) и \(C\): \(\angle BAP = \angle BCP = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).

Граница области, нагретой одновременно от источников \(A\) и \(C\), представляет собой «линзу», ограниченную двумя дугами окружностей, стягивающими центральный угол \(45^\circ\). Длина одной дуги: \[l_1 = \dfrac{2\pi a\cdot 45^\circ}{360^\circ} = \dfrac{\pi a}{4} .\] Одна область пересечения двух соседних фронтов ограничена двумя такими дугами, значит её граница имеет длину \(l = 2l_1 = \dfrac{\pi a}{2}\).

Из соображений симметрии на пластине четыре такие области. Фронты от противоположных источников не пересекаются, поэтому суммарная длина границы области, нагретой одновременно двумя источниками, равна \[L = 4\cdot\dfrac{\pi a}{2} = 2\pi a .\] При \(a = 1\text{ см}\) получаем \(L = 2\pi\text{ см} \approx 6{,}28\text{ см}\).