Покачивание

Движение звезды — сумма двух круговых движений вокруг центра масс, от каждой из планет. Центр этого движения найдите по центру «конверта» траектории, а крайние расстояния от центра дают разность и сумму радиусов \(x_B\mp x_A\). Массу планеты находите из условия сохранения положения центра масс: \(Mx=ma\).

i) \(T_B=12{,}4\) года, \(T_A=1{,}20\) года;  ii) \(M=4{,}4\cdot10^{30}\) кг, \(m_A=1{,}2\cdot10^{27}\) кг;  iii) \(m_B=9{,}3\cdot10^{26}\) кг;  iv) \(T_A=2{,}65\) года, \(T_B=12{,}9\) года, \(M=6{,}8\cdot10^{29}\) кг, \(m_A=5{,}1\cdot10^{26}\) кг, \(m_B=3{,}9\cdot10^{25}\) кг.

i) Чем дальше планета от звезды-хозяина, тем больше её орбитальный период. За фиксированное время мы поэтому ожидаем, что планета \(A\) совершит вокруг звезды больше оборотов, чем планета \(B\). Эффект покачивания возникает из-за того, что и звезда, и планеты обращаются вокруг общего барицентра (центра масс). Действие одной планеты заставляет звезду совершать круговое движение с некоторым радиусом \(x\) и частотой \(\omega\). Действия двух планет складываются, поэтому полное движение — это сумма двух круговых движений с радиусами \(x_A\) и \(x_B\) и разными угловыми частотами \(\omega_A\) и \(\omega_B\).

На рисунке мы находим центр кругового движения звезды как центр «конверта» (например, с помощью линейки находим диаметр, а затем его середину). Отсюда измеряем, что низкочастотная компонента охватывает угол \(\alpha=290^\circ\) за время измерения \(t=10\) лет. Высокочастотная же компонента за это время совершает 7,5 полных оборотов относительно низкочастотной. Следовательно, \(\omega_Bt=\alpha\) и \((\omega_A-\omega_B)t/(2\pi)=7{,}5\). Отсюда \[T_B=\frac{2\pi}{\omega_B}=\frac{2\pi t}{\alpha}=12{,}4\text{ года},\qquad T_A=\frac{2\pi}{\omega_A}=\frac{1}{\dfrac1{T_B}+\dfrac{7{,}5}{t}}=1{,}20\text{ года}.\]

ii) По рисунку мы измеряем крайние значения расстояния звезды от начала координат: \(l_1=1{,}6\times10^5\) км и \(l_2=2{,}8\times10^5\) км. Крайние значения соответствуют случаям, когда два круговых движения направлены в одну сторону или в противоположные. Иными словами, расстояния равны \(l_1=x_B-x_A\) и \(l_2=x_B+x_A\). Преобразуя, получаем \(x_A=(l_2-l_1)/2=6\times10^4\) км и \(x_B=2{,}2\times10^5\) км.

Чтобы найти массы, нужно изучить динамику системы. Прежде всего, можно считать, что большие полуоси планет много больше \(x\). Действительно, \(a_A/x_A=4000\gg1\). Либо из баланса гравитационной и центробежной сил, либо из третьего закона Кеплера имеем \(4\pi^2/(GM)=T_A^2/a_A^3\), так что масса звезды равна \[M=\frac{4\pi^2a_A^3}{GT_A^2}=4{,}4\times10^{30}\text{ кг}.\] Массу планеты можно найти из того, что планета и звезда вращаются вокруг общего центра масс: \(Mx_A=m_Aa_A\). Следовательно, \[m_A=M\frac{x_A}{a_A}=1{,}2\times10^{27}\text{ кг}.\]

iii) Снова из третьего закона Кеплера находим большую полуось планеты \(B\): \[a_B=\sqrt[3]{\frac{T_B^2GM}{4\pi^2}}=1{,}0\times10^9\text{ км}.\] Аналогично предыдущему получаем массу \[m_B=M\frac{x_B}{a_B}=9{,}3\times10^{26}\text{ кг}.\] Обе планеты — газовые гиганты, подобные Юпитеру (0,63 и 0,50 массы Юпитера соответственно). Это логично, так как данный метод более чувствителен к более массивным экзопланетам с большими орбитами.

iv) Уравнения, описывающие систему, остаются в силе, но считывать частоты теперь сложнее. Тем не менее мы по-прежнему можем найти начало координат и измерить крайние расстояния \(l_1=1{,}20\times10^5\) км и \(l_2=1{,}85\times10^5\) км. Заметим также, что высокочастотная компонента (соответствующая планете \(A\)) имеет больший радиус, чем низкочастотная (планета \(B\)). Следовательно, \(l_1=x_A-x_B\) и \(l_2=x_A+x_B\), и поэтому \(x_A=(l_1+l_2)/2=1{,}5\times10^5\) км, \(x_B=(l_2-l_1)/2=3{,}3\times10^4\) км.

Высокочастотная компонента совершает 3 полных оборота и, судя по рисунку, ещё \(280^\circ\) сверх того. Отсюда \(T_A=t/(3+280^\circ/360^\circ)=2{,}65\) года. Низкочастотная компонента, в свою очередь, начинает и заканчивает в самой дальней точке и 3 раза проходит через ближайшую точку. Следовательно, она совершает 3 полных оборота. Таким образом, \[\left(\frac{2\pi}{T_A}-\frac{2\pi}{T_B}\right)t=6\pi,\] и поэтому \[T_B=\frac{1}{\dfrac1{T_A}-\dfrac3t}=12{,}9\text{ года}.\]

Используя уравнения из предыдущих частей, получаем \[\begin{align*} M&=\frac{4\pi^2a_A^3}{GT_A^2}=6{,}8\times10^{29}\text{ кг},\\ m_A&=M\frac{x_A}{a_A}=5{,}1\times10^{26}\text{ кг},\\ m_B&=Mx_B\sqrt[3]{\frac{4\pi^2}{T_B^2GM}}=3{,}9\times10^{25}\text{ кг}. \end{align*}\] Первая планета — снова газовый гигант (0,26 массы Юпитера), а вторая — «суперземля» (6,4 массы Земли).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.