Кёрлинг

Когда камень вращается, сила трения в каждой точке кольца контакта направлена против локальной скорости этой точки, а не против скорости центра камня. Разложите проекции по малому параметру \(\delta=\omega r/v_s\) и проинтегрируйте по кольцу: поправка к силе оказывается второго порядка по \(\delta\), а момент — первого.

i) \(v_s=v_0-\mu gt\);  ii) \(v_{\text{уд}}=\sqrt{v_0^2-2\mu gs}\);  iii) \(\Delta F_x=-\dfrac{\mu mg\,\omega^2r^2}{4v_s^2}\);  iv) \(T=-\dfrac{\mu mg\,\omega r^2}{2v_s}\);  v) \(\omega_{\text{уд}}=\omega_0\left(\dfrac{v_{\text{уд}}}{v_0}\right)^{r^2/R^2}\).

i) Так как камень скользит по льду всей поверхностью контакта, сила трения равна \(F_{fx}=\mu mg\), т. е. ускорение равно \(\mu g\) и направлено в отрицательном направлении оси \(x\) (ось \(x\) направлена к камню соперника). Таким образом, \[\frac{dv_s}{dt}=-\mu g\ \Rightarrow\ v_s=v_0-\mu gt.\]

ii) Проще всего получить конечную скорость из закона сохранения энергии, заметив, что сила трения совершает работу \(W_f=\mu mgs\). Таким образом, \[\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv_{\text{уд}}^2}{2}+\mu mgs\ \Rightarrow\ v_{\text{уд}}=\sqrt{v_0^2-2\mu gs}.\] Можно и иначе: сначала вычислить время \(t_{\text{уд}}\) до удара по камню соперника. Интегрируя выражение для \(v_s\) до этого момента, получаем \[s=v_0t_{\text{уд}}-\mu g\frac{t_{\text{уд}}^2}{2}.\] Решая относительно \(t_{\text{уд}}\), находим \[t_{\text{уд}}=\frac{v_0}{\mu g}-\sqrt{\frac{v_0^2}{\mu^2g^2}-\frac{2s}{\mu g}}\] (решение со знаком плюс даёт отрицательную скорость). Подстановка обратно в выражение для \(v_s\) и упрощение дают \(v_{\text{уд}}=\sqrt{v_0^2-2\mu gs}\).

iii) Рассмотрим движение точки кольца, находящейся в контакте со льдом под углом \(\theta\) от оси \(x\) и движущейся со скоростью \(v\), как показано на рисунке ниже. Проекции этой скорости на оси \(x\) и \(y\) равны \(v_x=v_s-\omega r\sin\theta\) и \(v_y=\omega r\cos\theta\) соответственно.

Сила трения на единицу длины, как и раньше, по модулю равна \[F'_f=\frac{\mu mg}{2\pi r}\] в любой точке кольца, соприкасающегося со льдом, но теперь она направлена против локальной скорости \(v\), а не против скорости скольжения \(v_s\). Проекция плотности силы на ось \(x\) принимает вид \[F'_{fx}=-F'_f\cos\varphi=-F'_f\frac{v_x}{v}.\] Дальше есть два способа довести вычисления до конца.

Первый. Рассмотрим бесконечно малую дугу кольца контакта с центральным углом \(d\theta\); сила трения, действующая на неё, по модулю равна \(dF_f=\dfrac{\mu mg}{2\pi}\,d\theta\). Полная сила, очевидно, направлена против скорости камня, поскольку \(y\)-проекции сил, действующих на дуги при \(\theta\) и \(\pi-\theta\), попарно сокращаются. Проекция силы трения, действующей на нашу дугу, равна \[dF_x=\frac{\mu mg}{2\pi}\cos\varphi\,d\theta.\] Введя малый параметр \(\delta\equiv\omega r/v_s\approx\omega r/v\ll1\), заключаем, что \(\varphi\ll1\), а потому можно использовать приближение \[dF_x\approx\frac{\mu mg}{2\pi}\left(1-\frac12\varphi^2\right)d\theta.\] Угол \(\varphi\) находится по теореме синусов в предположении \(\sin\varphi\approx\varphi\): \(\varphi\approx\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)\dfrac{\omega r}{v}\approx\cos\theta\,\dfrac{\omega r}{v_s}\equiv\delta\cos\theta\). Как вариант, столь же точное выражение получается из \[\varphi\approx\operatorname{tg}\varphi=\frac{v_y}{v_x}\approx\frac{v_y}{v_s}=\frac{\omega r\cos\theta}{v_s}.\] Таким образом, \[dF_x=\frac{\mu mg}{2\pi}\left(1-\frac{\delta^2}{2}\cos^2\theta\right)d\theta.\] Учитывая, что \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi\), это можно проинтегрировать и получить \[F_x=\mu mg\left(1-\frac{\omega^2r^2}{4v_s^2}\right),\] так что окончательный ответ \[\Delta F_x=-\frac{\mu mg\,\omega^2r^2}{4v_s^2}.\]

Второй способ — продолжить с

\[F'_{fx}=F'_f\frac{v_x}{v}=F'_f\frac{v_s-\omega r\sin\theta}{\sqrt{v_s^2-2v_s\omega r\sin\theta+\omega^2r^2}}=F'_f\frac{1-\delta\sin\theta}{\sqrt{1-2\delta\sin\theta+\delta^2}}.\] С точностью до второго порядка по \(\delta\), используя приближение, предложенное в тексте задачи, для \(x=-2\delta\sin\theta+\delta^2\) и проделав элементарные преобразования, получаем \[F'_{fx}\approx F'_f\left(1-\frac12\delta^2\cos^2\theta\right).\] Полную силу трения теперь можно получить, интегрируя по элементу длины \(r\,d\theta\) вдоль кольца, соприкасающегося со льдом; после упрощения и подстановки выражения для \(F'_f\) имеем \[F_{fx}=\int_0^{2\pi}F'_{fx}\,r\,d\theta=\mu mg\left(1-\frac14\delta^2\right).\]

iv) Для момента силы \(\tau'\) на единицу длины (относительно центральной оси камня) из рисунка видно, что угол между локальной силой на единицу длины и радиусом равен \(\theta-\varphi\), откуда \[\tau'=F'_fr\sin(\theta-\varphi).\] И здесь снова есть два способа продолжить.

Первый. Можно воспользоваться разложением в ряд Тейлора и оставить только линейный член: \(\sin(\theta-\varphi)\approx\sin\theta-\varphi\cos\theta\); подставляя ранее полученное выражение \(\varphi\approx\delta\cos\theta\), можно записать \[d\tau=\mu mgr\left(\sin\theta-\delta\cos^2\theta\right)\frac{d\theta}{2\pi},\] интегрирование которого даёт \[\tau=-\frac{\mu mg\,\omega r^2}{2v_s}.\]

Второй способ — записать \[\tau'=F'_fr\sin(\theta-\varphi)=F'_fr(\sin\theta\cos\varphi-\cos\theta\sin\varphi)=F'_fr\left(\sin\theta\frac{v_x}{v}-\cos\theta\frac{v_y}{v}\right),\] что с помощью приведённых выше выражений для \(v_x\) и \(v_y\) упрощается до \[\tau'=F'_fr\,\frac{\sin\theta-\delta}{\sqrt{1-2\delta\sin\theta+\delta^2}}.\] Применяя то же приближение, что и в предыдущей части, и оставляя только первые, теперь главные, члены по \(\delta\), получаем \[\tau'\approx F'_fr\left(\sin\theta-\delta\cos^2\theta\right).\] Интегрируя, чтобы найти полный момент, получаем \[\tau=\int_0^{2\pi}\tau'\,r\,d\theta=-\frac12\delta\mu mgr.\]

v) Уравнение, описывающее вращение, теперь, выраженное через \(\omega\) и \(v_s\) вместо \(\delta\), имеет вид \[I\frac{d\omega}{dt}=\tau=-\frac12\mu mgr^2\frac{\omega}{v_s},\] где момент инерции \(I\approx\frac12mR^2\). Поскольку поправка к \(F_{fx}\) имеет только второй порядок по \(\delta\), в первом, главном, приближении мы можем пренебречь влиянием вращения на \(F_{fx}\). Таким образом, скорость скольжения \(v_s\) зависит от времени так же, как в части i). Тогда приведённое выше уравнение можно разделить по переменным: \[\int_{\omega_0}^{\omega_{\text{уд}}}\frac{d\omega}{\omega}=\int_0^{t_{\text{уд}}}\frac{-\mu g\,\frac{r^2}{R^2}\,dt}{v_0-\mu gt}\ \Rightarrow\ \ln\frac{\omega_{\text{уд}}}{\omega_0}=\frac{r^2}{R^2}\ln\frac{v_0-\mu gt_{\text{уд}}}{v_0},\] что, учитывая \(v_0-\mu gt_{\text{уд}}=v_{\text{уд}}\), даёт \[\omega_{\text{уд}}=\omega_0\left(\frac{v_{\text{уд}}}{v_0}\right)^{r^2/R^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.