Массы, связанные нитями

При синфазных колебаниях соединяющая нить остаётся параллельной оси \(x\), и система эквивалентна маятнику, подвешенному к оси, проходящей через точки крепления на стенках. При противофазных колебаниях длины нитей постоянны, и это связывает смещения масс по трём осям; затем используйте закон сохранения энергии.

i) \(\omega_1=\sqrt{\dfrac{g}{r\sin\theta}}\);  ii) \(\omega_2=\omega_1\sqrt{1+\cos\theta}\).

i) При синфазных колебаниях нить, соединяющая массы, всё время остаётся параллельной оси \(x\). В этом случае движение происходит в плоскости \(yz\) и тождественно движению маятника длиной \(r\sin\theta\), подвешенного к оси вращения: \[\omega_1=\sqrt{\frac{g}{r\sin\theta}}.\]

ii) Теперь пусть одна из масс смещается вдоль оси \(y\) на расстояние \(y\), а другая — на \(-y\).

Длина горизонтальной нити остаётся постоянной, поэтому \(y^2+(r-x)^2=r^2\), где \(x\) обозначает смещение шарика в направлении \(x\). При малых смещениях можно пренебречь наименьшим слагаемым \(x^2\), откуда \(x=y^2/2r\). Длина наклонной нити также остаётся постоянной, поэтому \((r\sin\theta-z)^2+(r\cos\theta+x)^2+y^2=r^2\), где \(z\) обозначает вертикальное смещение. Пренебрегая здесь наименьшими слагаемыми \(z^2\) и \(x^2\), получаем \(2rz\sin\theta=2rx\cos\theta+y^2=y^2(1+\cos\theta)\), откуда \[z=\frac{y^2}{2r}\,\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}.\] Теперь можно записать закон сохранения энергии: \(\frac12\dot y^2+gz=\text{const}\), где точка обозначает производную по времени. Дифференцируя это по времени, получаем \[\ddot y=-\frac{gy}{r}\,\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta},\] так что \[\omega_2=\sqrt{|\ddot y/y|}=\omega_1\sqrt{1+\cos\theta}.\]

Альтернативное решение. Пусть одна из масс (масса \(A\)) смещена на \(y\), а другая — на \(-y\). Пусть \(T'\) — натяжение двух крайних нитей (равные по модулю по симметрии), а \(T\) — натяжение соединяющей нити. Закон Ньютона вдоль оси \(y\) для массы \(A\) тогда даёт \[-T'\frac yr-T\frac yr=m\ddot y,\] т. е. \[\ddot y=-\frac{T'+T}{mr}\,y.\] Без колебаний \(T'_0=mg/\sin\theta\) и \(T_0=T'_0\cos\theta\). Запишем \(T'=T'_0+\Delta T'\) и \(T=T_0+\Delta T\), т. е. \[T'+T=mg\,\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\Delta T'+\Delta T.\] Сделаем некоторые оценки. Очевидно, \(|\Delta T|\sim|\Delta T'|\). Максимум \(\Delta T'\) достигается, когда масса проходит через нижнюю точку со скоростью \(\dot y\), где радиус кривизны её траектории \(R\sim r\sin\theta\). Более того, малые колебания в нормальной моде означают, что \(y=A\cos\omega_2t\) при некоторой амплитуде \(A\ll r\sin\theta\), т. е. \(|\dot y|\le A\omega_2\). Наконец, предположим, что \(\omega_2=k\omega_1\) при некотором \(k\sim1\). Имеем \[|\Delta T'|\sim\frac{m\dot y^2}{R}\sim\frac{mk^2A^2g}{r^2\sin^2\theta}=k^2mg\left(\frac{A}{r\sin\theta}\right)^2,\] т. е. квадратично меньше по \((A/r\sin\theta)\), чем \(T'_0\). Таким образом, \(T'+T\approx mg\,\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\) и \[\omega_2=\sqrt{\frac{T'+T}{mr}}=\omega_1\sqrt{1+\cos\theta}.\] (Результат показывает, что \(k\le\sqrt2\), т. е. сделанное предположение выполняется.)

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.