Задачи › Амперметры, вольтметры, мосты

Датчик силы

  1. Датчик силы

    NBPhO 2022/23, заключительный этап, 11 кл. · №25856
    4/10PDF: условиес решением

    (5 баллов) Датчик силы устроен как гибкая балка рабочей длины \(L\) и высоты \(h\), к которой прикреплены четыре одинаковых электрических проволочных резистора длиной \(l\ll L\), как показано на рисунке ниже. Если к концу балки приложить силу \(F\), она изогнёт балку и растянет верхние проволочки и сожмёт нижние, вызвав изменения электрического сопротивления. С помощью метода моста Уитстона эти изменения можно преобразовать в показание вольтметра, что позволяет измерять приложенную силу \(F\).

    Рисунок

    На рисунке: sensor cross-section — сечение датчика, top view — вид сверху.

    В дальнейшем считайте, что прогиб балки очень мал.

    i) (2 балла) Изгибающий момент \(M(x)\) (т. е. момент силы, с которым одна воображаемая половина балки действует на другую) обратно пропорционален радиусу кривизны \(r(x)\) осевой линии балки: \(M=EI/r\), где \(E\) — модуль Юнга, а \(I\) — постоянная, зависящая от геометрии поперечного сечения балки (обе величины известны). Найдите удлинение \(\Delta l\) верхней проволочки, когда к датчику приложена сила \(F\). Считайте, что проволочки расположены посередине балки.

    ii) (1 балл) Найдите сопротивления \(R_1\) и \(R_2\), когда известно \(\Delta l\) из предыдущего пункта, а начальное сопротивление проволочек равно \(R_0\). Считайте, что объём проволочки при деформации остаётся постоянным.

    iii) (2 балла) Резисторы соединены в мост Уитстона по схеме, показанной на рисунке ниже, где \(U\) — известное напряжение батареи. Найдите связь между измеренным напряжением \(V\) и силой \(F\).

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Момент силы \(F\) относительно середины балки равен \(FL/2\) и уравновешивается изгибающим моментом \(EI/r\); удлинение проволочки найдите из геометрии дуги окружности: верхняя и нижняя проволочки лежат на расстояниях \(h/2\) от осевой линии.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    i) \(\Delta l=\dfrac{FLlh}{4EI}\);  ii) \(R_{1,2}=R_0\pm\Delta R\), \(\Delta R=2R_0\dfrac{\Delta l}{l}=R_0\dfrac{FLh}{2EI}\);  iii) \(V=U\dfrac{FLh}{2EI}\), т. е. \(F=\dfrac{2EIV}{LhU}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    i) Чтобы найти удлинение \(\Delta l\), нужно знать радиус кривизны \(r\) балки в точке \(x=L/2\). Момент силы, создаваемый силой \(F\) в произвольной точке \(x\), равен \(F\cdot(L-x)\). Он должен уравновешиваться изгибающим моментом \(M(x)\) балки. В середине балки имеем \[M=\frac{EI}{r}=F\frac L2\ \Longrightarrow\ r=\frac{2EI}{FL}.\] Легко видеть, что если верхние проволочки удлиняются на \(\Delta l\), то нижние укорачиваются на столько же. Теперь нужно связать радиус кривизны \(r\) с удлинением \(\Delta l\).

    Рисунок

    Длина дуги окружности равна \(\Delta s=r\Delta\phi\). Зная это, из рисунка выше имеем \[\begin{align*} l+\Delta l&=\left(r+\frac h2\right)\Delta\phi,\\ l-\Delta l&=\left(r-\frac h2\right)\Delta\phi. \end{align*}\] Разделив эти уравнения друг на друга, получаем уравнение для \(\Delta l\), которое легко решается: \[\frac{l+\Delta l}{l-\Delta l}=\frac{2r+h}{2r-h}\ \Longrightarrow\ \Delta l=\frac{lh}{2r}.\] Объединяя это с выражением для \(r\), имеем \[\Delta l=\frac{FLlh}{4EI}.\]

    ii) Пусть \(\rho\) и \(S\) — удельное сопротивление и площадь поперечного сечения проволочек соответственно. Начальное сопротивление \(R_0\) всех проволочек равно \[R_0=\frac{\rho l}{S}=\frac{\rho l^2}{lS},\] где \(lS\) — объём проволочки, остающийся постоянным при деформации. Считая \(\Delta l\ll l\), имеем \[\begin{align*} R_1&=\frac{\rho(l+\Delta l)^2}{lS}\approx\frac{\rho l(1+2\Delta l/l)}{S}=R_0+\Delta R,\\ R_2&=\frac{\rho(l-\Delta l)^2}{lS}\approx\frac{\rho l(1-2\Delta l/l)}{S}=R_0-\Delta R, \end{align*}\] где \[\Delta R=\frac{2\rho\Delta l}{S}=2R_0\frac{\Delta l}{l}=R_0\frac{FLh}{2EI}.\]

    iii) Полное сопротивление \(R\) цепи равно \[R=\frac{(R_1+R_2)(R_1+R_2)}{2R_1+2R_2}=\frac{R_1+R_2}{2}.\] Поскольку обе стороны цепи имеют одинаковое полное сопротивление \(R_1+R_2\), ток в них также одинаков. Поэтому показание вольтметра равно \[V=\frac I2R_1-\frac I2R_2=\frac{U}{2R}(R_1-R_2)=U\frac{R_1-R_2}{R_1+R_2}=U\frac{\Delta R}{R_0}=U\frac{FLh}{2EI}.\]

    Отсюда окончательно \[F=\frac{2EIV}{LhU}.\]

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиСкопировать ссылкуНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх