Связанные заряды

Пока в поле находится один шарик, оба движутся с общим ускорением \(qE_0/2m\): центр масс системы ускоряется равномерно независимо от того, как поворачивается нить. Положение нити определяет, где находится центр масс в нужный момент, а энергия и поперечный импульс связывают скорости шариков.

i) шарики столкнутся в момент \(t=\sqrt{Lm/qE_0}\,(\sqrt3+2)\);  ii) \(T=1{,}811\sqrt{mL/qE_0}\);  iii) \(v=\sqrt{qE_0L/m}\);  iv) \(l=\dfrac{16}{\pi^2}L\approx1{,}6211\,L\).

i) Когда шарик \(A\) входит в электрическое поле, на него действует сила \(qE_0\), поэтому ускорение системы двух шариков равно \(a_1=qE_0/2m\); оно остаётся постоянным, пока шарик \(A\) не выйдет из поля. Это произойдёт, когда \(L=a_1t_1^2/2\), откуда \(t_1=\sqrt{2L/a_1}=2\sqrt{Lm/qE_0}\). В этот момент ускорение шарика \(A\) становится равным нулю, но в тот же самый момент шарик \(B\) входит в поле. Действующая на него сила \(qE_0\) сообщит ему вдвое большее ускорение, чем раньше, \(a_2=qE_0/m\), и нить ослабнет. Таким образом, скорость шарика \(B\) теперь больше, чем у шарика \(A\), и они в конце концов столкнутся. Время \(t_2\), проведённое шариком \(B\) в поле, можно выразить как \(t_2=(v_f-v_i)/a_2\), где \(v_i=\sqrt{qE_0L/m}\) — его начальная скорость, а \(v_f=\sqrt{3qE_0L/m}\) — конечная скорость. Итак, \(t_2=\sqrt{Lm/qE_0}\,(\sqrt3-1)\). В момент, когда шарик \(B\) выходит из поля, расстояние между шариками равно \(s=L-(v_f-v_i)t_2/2=v_it_2=L(\sqrt3-1)\), а разность скоростей шариков равна \(\Delta v=v_f-v_i=\sqrt{qE_0L/m}\,(\sqrt3-1)\), откуда оставшееся до столкновения время \(t_3=s/\Delta v=\sqrt{Lm/qE_0}\). Таким образом, момент столкновения \(t=t_1+t_2+t_3=\sqrt{Lm/qE_0}\,(\sqrt3+2)\).

ii) Первое решение. Центр масс движется с постоянным ускорением \(a_1=qE_0/2m\) и прошёл путь \(s_{CM}=L-l/2+l/(2\sqrt2)=0{,}8200L=a_1T^2/2\), откуда \[T=1{,}811\sqrt{\frac{mL}{qE_0}}.\]

iii) Первое решение. Вследствие сохранения \(y\)-компоненты импульса \(y\)-компоненты скоростей шариков всё время равны. В момент \(t=T\) нить параллельна оси \(x\); так как она нерастяжима, \(x\)-компоненты скоростей шариков в этот момент также равны. Следовательно, скорости равны, и закон сохранения энергии гласит \(E_0qL=mv^2\), так что \[v=\sqrt{\frac{qE_0L}{m}}.\]

Альтернативное решение. Промежуток времени \(0<t<T\) удобнее всего анализировать в системе отсчёта центра масс. В этой системе действует сила инерции \(F_i=-ma_1=-qE_0/2\). Следовательно, оба шарика совершают нелинейные колебания вокруг центра масс (нелинейные, потому что амплитуда не мала). Скорость шарика в момент \(t=T\) можно найти из закона сохранения энергии. При \(t=0\) скорость равна нулю, так что вся энергия обусловлена потенциальной энергией в однородном силовом поле \(qE_0/2\): \[\Delta U=\frac{qE_0}{2}\left(\frac l2-\frac{l}{2\sqrt2}\right)=\frac{qE_0l}{8}(2-\sqrt2)=\frac{mv_y^2}{2},\]

откуда \[v_y^2=\frac{qE_0l}{4m}(2-\sqrt2)=0{,}1800\,\frac{qE_0L}{m}.\] Это даёт компоненту скорости вдоль оси \(y\); вернувшись в лабораторную систему, нужно добавить \(x\)-компоненту скорости системы отсчёта \(v_x=a_1T=\dfrac{qE_0}{2m}\,1{,}811\sqrt{\dfrac{mL}{qE_0}}=0{,}9055\sqrt{\dfrac{qE_0L}{m}}\), так что \[v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\frac{qE_0L}{m}}.\]

iv) Чтобы нить была параллельна оси \(x\), система должна совершить \(n+\frac12\) полупериодов, где \(n\) — целое число. Теперь, поскольку амплитуда мала, колебания гармонические, а круговая частота равна \(\omega=\sqrt{\dfrac{qE_0}{ml}}\) (можно воспользоваться формулой для маятника длиной \(l/2\) в эквивалентном поле тяжести \(g=qE_0/2m\)). Поэтому время движения должно быть \(\tau=\pi\sqrt{\dfrac{ml}{qE_0}}\left(n+\dfrac12\right)\). С другой стороны, можно воспользоваться результатом задания ii: \(\tau=\sqrt{\dfrac{ml}{qE_0}}\sqrt{4\lambda-2+2\cos\varphi}\), где \(\lambda=L/l<1\) и \(\cos\varphi\approx1\). Итак, \(\pi\left(n+\frac12\right)=\sqrt{4\lambda}\). Так как \(\lambda<1\), это равенство может выполняться только при \(n=0\), откуда \(\lambda=\dfrac{\pi^2}{16}=0{,}6169\), так что \[l=\frac{L}{\lambda}=1{,}6211\,L.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.