Взрыв азота

Массой газа в условии плавания можно пренебречь. Сфера лопнет, когда сила давления на половину сферы сравняется с силой упругости, которую выдерживает кольцевое сечение стенки. Пока азот греется, он кипит, и его температура следует линии насыщения на графике.

i) \(d=\dfrac r6\cdot\dfrac{\rho_w-\rho_n}{\rho_p}=1{,}5\) мм;  ii) \(p_2=p_a+\dfrac{2\sigma d}{r}=1{,}1\cdot10^6\) Па;  iii) \(T_2=106\) К;  iv) \(\Delta m=0{,}065\) кг;  v) \(\Delta t\approx15{,}5\) с.

i) Как показано на первом рисунке условия, сфера плавает так, что в воду погружена ровно половина её объёма. При рассмотрении плавания массой газообразного азота можно пренебречь по сравнению с массами жидкого азота и пластиковой сферы. По закону Архимеда \[\rho_nV_n+\rho_pV_p=\rho_wV_w,\] где \(V_n\), \(V_p\) и \(V_w\) — объёмы жидкого азота, пластика и вытесненной воды соответственно. Имеем \[\frac12\cdot\frac{4\pi r^3\rho_n}{3}+d\cdot4\pi r^2\rho_p=\frac12\cdot\frac{4\pi r^3\rho_w}{3},\] и, решая относительно \(d\), получаем \[d=\frac r6\cdot\frac{\rho_w-\rho_n}{\rho_p}=1{,}5\text{ мм}.\]

ii) Сфера взорвётся, когда разность давлений \(p_2-p_a\) достигнет такого значения, что будет достигнут максимальный предел прочности пластика на разрыв. Рассмотрим только одну половину сферы и изучим баланс сил.

На рисунке: elastic forces — упругие силы; resultant of the pressure forces — равнодействующая сил давления.

Равнодействующая сил давления равна \((p_2-p_a)\pi r^2\). Она всегда должна уравновешиваться силами упругости в пластике. Непосредственно перед взрывом имеем равенство \[(p_2-p_a)\pi r^2=\sigma\,2\pi rd,\] где \(2\pi rd\) — площадь поперечного сечения пластика. Теперь, решая относительно \(p_2\), получаем \[p_2=p_a+\frac{2\sigma d}{r}=1{,}1\cdot10^6\text{ Па}.\]

iii) При кипении при постоянном давлении температура жидкости не меняется, хотя жидкость всё время получает энергию. Если же давление меняется, как в нашей задаче, то меняется и температура кипения, в точности следуя линии фазового перехода на фазовой диаграмме. Так как конечное давление \(p_2\) нам известно, мы можем просто прочитать соответствующую температуру по диаграмме: \[p_2=1{,}1\cdot10^6\text{ Па}\ \Rightarrow\ T_2=106\text{ К}.\]

iv) Если известны \(p\), \(V\) и \(T\), массу газообразного азота можно вычислить из уравнения идеального газа: \[pV=\frac mMRT\ \Rightarrow\ m=\frac{pVM}{RT}.\] Поскольку нам известны начальное и конечное состояния, масса азота \(\Delta m\), испарившегося между этими состояниями, равна \[\Delta m=m_2-m_1=\frac{2\pi r^3M}{3R}\left(\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}\right)=0{,}065\text{ кг}.\]

v) Пренебрегая теплоёмкостью пластика и тепловым потоком через верхнюю половину сферы, нам нужно учесть только теплоту испарения: \[Q_e=\lambda\Delta m=1{,}31\cdot10^4\text{ Дж},\] и теплоту нагревания жидкого азота: \[Q_l=c_vm_l(T_2-T_1)=\frac23\pi r^3\rho_nc_v(T_2-T_1)=9{,}7\cdot10^4\text{ Дж}.\] Теплотой нагревания газообразного азота можно пренебречь, поскольку масса газа очень мала по сравнению с массой жидкого азота (\(\approx1{,}7\) кг). Полная теплота \(Q_e+Q_l\) отбирается у воды через пластик. Средняя температура азота равна \(T_n=(T_1+T_2)/2=91{,}7\) К, а средняя разность температур между водой и азотом — \(T_w-T_n=201{,}5\) К. Тепловой поток через пластик равен \[q=k\frac{T_w-T_n}{d}.\] Полное количество теплоты, переданное через нижнюю половину сферы за время \(\Delta t\), равно \[\Delta Q=qA\Delta t=Q_e+Q_l,\] где \(A=2\pi r^2\) — половина площади поверхности сферы. Наконец, решая относительно \(\Delta t\), получаем оценку времени до взрыва сферы: \[\Delta t=\frac{d\,(Q_e+Q_l)}{2\pi r^2k\,(T_w-T_n)}=15{,}5\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.