Струна с трением

Решение

A1. Малость отклонения по сравнению с длиной резинки позволяет считать угол между участком резинки и \(O x\) малым. Если, к тому же, она натянута достаточно сильно, чтобы пренебречь изменением натяжения из-за увеличения длины, а также силой тяжести, второй закон Ньютона в проекции на \(O y\) для маленького участка резинки с координатами \((x, y(t))\) и длиной \(d x\) имеет следующий вид:

\[\mathrm d m \cdot\ddot{y}=T(\sin (\alpha(x+\mathrm d x))-\sin (\alpha(x))) \approx T\left(y'(x+\mathrm d x)-y'(x)\right) \approx T y''\cdot \mathrm d x \qquad(3)\]откуда получаем волновое уравнение:

\[\ddot{y}=\frac{T}{\rho(L)} y'' \qquad(4)\]Здесь \(\rho=\mathrm d m /\mathrm d x\) – линейная плотность резинки. Из этого уравнения заключаем

Ответ:

\[v=\sqrt{T / \rho(L)}\]

A2. Подстановка \((2)\) в \((1)\) приводит к следующему уравнению:

\[A{''}+\frac{\omega^{2}}{v^{2}} A=0. \qquad(5)\]Это уравнение колебаний (с тем отличием, что вместо времени здесь координата), решения которого можно записать в виде:

\[A(x)=A_{0} \sin \left(\frac{\omega}{v} x+\psi\right). \qquad(6)\]Для того, чтобы это решение описывало резинку, закрепленную на концах, нам нужно потребовать \(y(x=0, t)=y(x=L, t)=0\):

\[\left\{\begin{array}{l} \sin (\psi)=0, \qquad(7)\\ \sin \left(\dfrac{\omega}{v} L+\psi\right)=0, \end{array}\right.\]откуда следует условие:

Ответ:

\[\omega=\frac{\pi v}{L} n=\omega_{0} n,\quad n\in\mathbb N\]

A3. Решение, соответствующее номеру \(n\), имеет форму синусоиды с \(n-1\) нулем на отрезке \((0 ; L)\) (см. первые четыре решения на рисунках 3.1–3.4).

Ответ:

Рис. 3.1. \(n=1\)

Ответ:

Рис. 3.2. \(n=2\)

Ответ:

Рис. 3.3. \(n=3\)

Ответ:

Рис. 3.4. \(n=4\)

B1. Возбуждаемое описанным в условии способом колебание наиболее близко к синусоиде с

Ответ:

\[n=1\]

которая и будет вносить основной вклад в сумму нормальных колебаний, описывающих движение резинки. Отклонение начального профиля резинки от синусоиды описывается слагаемыми с \(n>1\).

B2. Закрепим участок резинки, имеющий длину \(L_{0}=(18.9 \pm 0.1)~см\), указанным в условии способом, растянув до некоторой длины \(L\). Используя стробоскоп, измерим зависимость частоты колебаний \(\nu\) от длины \(L\), которую мы можем менять, изменяя положение лапок на оси штатива.

Далее, пользуясь тем, что возбуждаемые колебания – нормальные с \(n=1\), получим формулу: \[\frac{\pi}{L} \sqrt{\frac{T}{\rho(L)}}=\omega=2 \pi \nu \qquad(8)\] Поскольку при изменении положения лапок неизменной остается не плотность резинки, а полная масса ее отрезка, приведем эту формулу к виду: \[T=\rho_{0} L_{0}(2 \nu)^{2} L \qquad(9)\] Обсудим несколько подробнее процедуру измерения частоты колебаний стробоскопом. Идея состоит в том, чтобы подобрать такую частоту, при которой можно наблюдать в свете стробоскопа стационарное изображение. Однако, если мы наблюдаем стационарную картинку на частоте \(\nu{'}\), то ее же мы будем видеть на частотах стробоскопа \(\nu{'} / n\), где \(n\) – натуральное число. Яркость стационарного изображения в свете стробоскопа, конечно, будет падать с ростом \(n\), однако это тяжело зафиксировать визуально. Поэтому, чтобы точно определить нужную частоту, будем действовать следующим образом. Найдем частоту \(\nu{'}\), при которой мы будем видеть два изображения колеблющейся резинки, расстояние между которыми уменьшается по мере затухания колебаний (см. рисунок 4а). Если при уменьшении частоты в два раза мы наблюдаем не две резинки, а уже одну (медленно движущуюся из крайнего положения в положение равновесия (см. рисунок 4б), то частота колебаний резинки равна \(\nu{'} / 2\). Ясно, что при достаточно маленьком шаге измерений такую проверку достаточно проделать для одной длины, поскольку изменение частоты для двух разных длин будет много меньше самого значения частоты.

Рис. 4. Изображение в свете стробоскопа: а) частота колебаний в два раза меньше частоты стробоскопа; б) частоты совпадают

По нескольким причинам удобнее проводить измерения не самой частоты \(\nu{'}\), а ее удвоенного значения. Во-первых, это позволяет измерять маленькие частоты колебаний (на частотах ниже \(30-40~Гц\) время реакции глаза на изменяющуюся освещенность оказывается сравнимым с временем между вспышками стробоскопа, и видны уже отдельные вспышки, а не «усредненная» стационарная картинка; при измерениях на удвоенной частоте можно дойти до вдвое меньших частот колебаний резинки). Во-вторых, при измерениях на удвоенной частоте существенно лучше удается ограничить диапазон частот, в котором изображение является стационарным (меняющимся только на масштабах характерного времени затухания колебаний), то есть погрешность определения частоты падает. Для оценки погрешности будем изменять частоту с маленьким шагом около \(2 \nu{'}\) и определим диапазон частот, в котором в свете стробоскопа наблюдаются два изображения резинки, медленно приближающиеся друг к другу. Границами диапазона будут частоты, на которых после совмещения изображения резинки снова расходятся.

Проведем измерения и расчеты, позволяющие найти зависимость \(T\left(L / L_{0}\right)\). Погрешность измерения длин примем за \(\delta L=1~мм\). Для всех частот оценим погрешность измерения сверху как \(\delta \nu=10~мин^{-1}\).

Погрешность определения силы натяжения оценена как \(\delta F=(2 \delta(2 \nu) /(\nu)+\delta L / L) F\). Построим график зависимости \(T\left(L / L_{0}\right)\):

График зависимости \(T\left(L / L_{0}\right)\)

Видно, что имеется довольно широкая область линейности функции \(T\left(L / L_{0}\right)\), где резинку можно описывать жесткостью

Ответ:

\[k=(7.3 \pm 0.2)~Н/м\]

B3. Теперь зафиксируем положение концов резинки и в третью муфту вставим трубку, вокруг которой обмотаем резинку в один оборот, как показано на рисунке 5. Будем оттягивать трубку вниз так, чтобы резинка скользила по ней. Зафиксируем трубку в некотором положении. По формуле Эйлера отношение сил натяжения резинки сверху и снизу дается формулой (знак + в показателе экспоненты соответствует движению трубки вниз перед тем как мы ее закрепили): \[\frac{T_{1}}{T_{2}}=e^{2 \pi \mu} \qquad(10)\] Здесь \(\mu\) – искомый коэффициент трения.

Рис. 5. Схема установки для измерения коэффициента трения

Теперь, не меняя положений концов резинки и трубки, измерим частоты колебаний \(\nu_{1}\) и \(\nu_{2}\) верхней и нижней частей резинки способом, аналогичным описанному выше для измерения зависимости \(T(L)\). Измерим длины \(a_{1}\) и \(a_{2}\) этих участков резинки и сделаем пометки в точках соприкосновения резинки с трубкой. После измерения частоты трубку нужно аккуратно извлечь и по сделанным пометкам измерить длины \(a_{1}^{0}\) и \(a_{2}^{0}\) верхнего и нижнего участков резинки. Тогда, исходя из выражения для нормальной частоты колебания с \(n=1\), можно записать: \[\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}=\sqrt{\frac{T_{1} \rho_{2}}{T_{2} \rho_{1}}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\sqrt{\frac{T_{1} a_{2}^{0} a_{1}}{T_{2} a_{1}^{0} a_{2}}} \frac{a_{2}}{a_{1}}=\sqrt{\frac{T_{1} a_{2}^{0} a_{2}}{T_{2} a_{1}^{0} a_{1}}} \qquad(11)\] Здесь мы воспользовались тем, что в отсутствие трубки линейная плотность резинки одинакова по всей длине.

Записанные выражения позволяют провести линеаризацию: \[y=\left(\nu_{1} / \nu_{2}\right)^{2}=e^{\pi \mu} \frac{a_{2}^{0} a_{2}}{a_{1}^{0} a_{1}}=e^{\pi \mu} x \qquad(12)\] По измеренным значениям \(T_{1(2)}, a_{1(2)}\) и \(a_{1(2)}^{0}\) для разных положений трубки определим \(\mu\).

Результаты измерений:

Расчет величин \(y\) и \(x\) дает:

График зависимости \(y(x)\):

Рис. 6. График зависимости \(y(x)\)

Измерения проводились для разных положений трубки и при разных натяжениях. Угловой коэффициент прямой, описывающей эту зависимость, \(k=2.70\) дает

Ответ:

\[\mu=\ln (k) / \pi=0.32\]

Источник: pho.rs/p/4237.