Часы Кокса

В 1765 году британский часовщик Джеймс Кокс изобрёл часы, единственным источником энергии которых служат колебания атмосферного давления. В часах Кокса использовались два сосуда с ртутью. Изменения атмосферного давления заставляли ртуть перетекать между сосудами, а сами сосуды смещались относительно друг друга. Это движение служило источником энергии для собственно часов.

Мы предлагаем проанализировать это устройство. Во всей задаче будем считать, что:

• гравитационное поле Земли \(\vec g = -g\,\vec u_z\) однородно, \(g = 9{,}8\) м\(\cdot\)с\(^{-2}\), \(\vec u_z\) — единичный вектор;

• все жидкости несжимаемы, их плотность обозначена \(\rho\);

• эффекты поверхностного натяжения не учитываются;

• изменениями атмосферного давления с высотой пренебрегаем;

• температура окружающей среды \(T_a\) однородна, и все процессы изотермические.

Рис. 1. Художественное изображение часов Кокса.

Часть A. Вытягивание погружённой трубки

Сначала рассмотрим ванну с водой, занимающую полупространство \(z \le 0\). Воздух над ней находится под давлением \(P_a = P_0\). Вертикальная цилиндрическая трубка длиной \(H = 1\) м, площадью поперечного сечения \(S = 10\) см\(^2\) и массой \(m = 0{,}5\) кг погружена в ванну. Нижний конец трубки открыт, верхний — закрыт. Обозначим \(h\) высоту верхнего конца трубки, а \(z_\ell\) — высоту уровня воды внутри трубки. Толщиной стенок трубки пренебрегаем.

Рис. 2. Схема трубки в различных конфигурациях (a, b, c).

Начнём с ситуации, когда трубка на рис. 2 не содержит газа и её верх находится на уровне ванны: иначе говоря, \(h = 0\) и \(z_\ell = 0\) (случай a). Трубку затем медленно поднимают, пока её нижний конец не достигнет уровня ванны. Сила, приложенная к трубке, обозначена \(\vec F = F\,\vec u_z\).

A.1. Для конфигурации, показанной на рис. 2 (случай b), выразите давление \(P_w\) в воде на верхнем конце трубки. Также выразите силу \(\vec F\), необходимую для удержания трубки в этом положении. Выражения должны быть записаны через \(P_0\), \(\rho\), \(m\), \(S\), \(h\), \(g\) и \(\vec u_z\). (0,2 балла)

Проводятся три эксперимента. В каждом трубку поднимают из начального состояния, показанного на рис. 2(a), при условиях, указанных в таблице 1.

Таблица 1. Экспериментальные условия и численные значения физических величин для каждого опыта (\(P_{\rm sat}\) — давление насыщенного пара чистой жидкости):

• опыт 1: жидкость — вода, \(T_a = 20\) °C, \(\rho = 1{,}00\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 2{,}34\cdot10^{3}\) Па;

• опыт 2: жидкость — вода, \(T_a = 80\) °C, \(\rho = 0{,}97\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 47{,}4\cdot10^{3}\) Па;

• опыт 3: жидкость — вода, \(T_a = 99\) °C, \(\rho = 0{,}96\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 99{,}8\cdot10^{3}\) Па.

В каждом случае изучаем эволюцию силы \(F\), которую нужно приложить, чтобы удерживать трубку в равновесии на высоте \(h\), при внешнем давлении, фиксированном на уровне \(P_a = P_0 = 1{,}000\cdot10^{5}\) Па. Возможны два различных поведения.

Поведения A и B (графики без номера; на левом — \(F_0\), \(F_{\max}\), \(H\), \(h\), \(F\); на правом — \(h^\star\)). На рисунке: Behaviour A — поведение A; Behaviour B — поведение B.

A.2. Для каждого опыта заполните таблицу в листе ответов, указав ожидаемое поведение и численные значения \(F_{\max}\) и \(h^\star\) (если применимо), где \(F_{\max}\) и \(h^\star\) определены на рисунках, иллюстрирующих два поведения. (0,8 балла)

Когда воду заменяют жидкой ртутью (свойства которой приведены ниже), наблюдается поведение B. Ртуть: \(T_a = 20\) °C, \(\rho = 13{,}5\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\), \(P_{\rm sat} = 0{,}163\) Па.

A.3. Выразите относительную погрешность \(\varepsilon\), которая возникает, когда при оценке максимальной силы \(F_{\max}\) пренебрегают \(P_{\rm sat}\) по сравнению с \(P_0\). Дайте численное значение \(\varepsilon\). (0,3 балла)

Часть B. Двухчастная барометрическая трубка

Далее работаем со ртутью (плотность \(\rho = 13{,}5\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\)) при температуре окружающей среды \(T_a = 20\) °C и полагаем \(P_{\rm sat} = 0\).

Рассмотрим трубку с резервуаром наверху, моделируемую как две расположенные друг над другом цилиндрические части разных размеров, см. рис. 3.

• Нижняя часть (по-прежнему называемая трубкой) имеет площадь поперечного сечения \(S_t\) и высоту \(H_t = 80\) см.

• Верхняя часть (называемая колбой) имеет площадь поперечного сечения \(S_b > S_t\) и высоту \(H_b = 20\) см.

Эта двухчастная трубка погружена в полубесконечную жидкую ванну.

Рис. 3. Схема двухчастной барометрической трубки. На рисунке: \(H_t = 80\) см, \(H_b = 20\) см; обозначения: \(z_\ell\) — высота столба ртути, \(\vec g\) — ускорение свободного падения, \(\vec F\) — сила.

Как и в части A, система подготовлена так, что трубка не содержит воздуха. Положение трубки по вертикали определяем высотой \(h_t\) соединения нижней части трубки с колбой. Высота столба ртути снова обозначена \(z_\ell\). Сила \(\vec F\), которую нужно приложить для удержания трубки в равновесии в конфигурации, показанной на рис. 3, может быть записана как \[\vec F = \left(m_{\rm tb} + m_{\rm add}\right) g\,\vec u_z, \tag{1}\] где \(m_{\rm tb}\) — полная масса двухчастной трубки (пустой, без ртути).

B.1. На листе ответов закрасьте область, соответствующую объёму жидкой ртути, который отвечает за слагаемое \(m_{\rm add}\) в уравнении (1). (0,3 балла)

Масса \(m_{\rm add}\) зависит как от высоты \(h_t\), так и от атмосферного давления \(P_a\). В следующем вопросе считаем атмосферное давление фиксированным: \(P_a = P_0 = 1{,}000\cdot10^{5}\) Па. Начиная с ситуации, когда система полностью погружена, трубку медленно поднимают, пока её основание не окажется вровень с уровнем жидкости в ванне.

B.2. Постройте эскиз зависимости массы \(m_{\rm add}\) от \(h_t\) при \(h_t \in [-H_b, H_t]\). На графике укажите выражения для наклонов различных участков, а также аналитические значения \(h_t\) всех угловых точек — через \(P_0\), \(\rho\), \(g\), \(S_b\), \(S_t\), \(H_b\) и \(H_t\). (1,4 балла)

Поскольку трубку поднимают при \(P_a = P_0 = 10^5\) Па, останавливаемся, когда свободная поверхность жидкости оказывается в середине колбы. Значение \(h_t\) фиксируется, и затем наблюдаем вариации массы \(m_{\rm add}\), вызванные вариациями атмосферного давления, описываемыми как \[P_a(t) = P_0 + P_1(t), \tag{2}\] где \(P_0\) — среднее значение, а \(P_1\) — возмущающее слагаемое. Моделируем \(P_1\) периодической треугольной функцией с амплитудой \(A = 5\cdot10^{2}\) Па и периодом \(\tau_1\), равным одной неделе.

Рис. 4. Упрощённая модель возмущающего слагаемого \(P_1(t)\).

B.3. Считая \(S_t = 5\) см\(^2\) и \(S_b = 200\) см\(^2\), выразите амплитуду \(\Delta m_{\rm add}\) вариаций массы \(m_{\rm add}\) со временем, затем дайте её численное значение. Считайте, что уровень жидкости всегда остаётся в колбе. (0,3 балла)

Часть C. Часы Кокса

Реальный механизм, разработанный Коксом, сложен (рис. 5). Мы изучаем упрощённую версию, изображённую на рис. 6 и описанную ниже:

• цилиндрическая нижняя кювета, содержащая ванну с ртутью;

• двухчастная барометрическая трубка, идентичная изученной в части B и также полностью очищенная от воздуха, погружена в ванну;

• кювета и двухчастная трубка каждая подвешены на тросе. Оба троса (нерастяжимые и невесомые) проходят через систему идеальных блоков и крепятся к разным сторонам одной и той же массы \(M\), которая может скользить по горизонтальной поверхности;

• полный объём жидкой ртути в системе \(V_\ell = 5\) л.

Высоты, площади сечений и массы каждой части приведены в таблице 2. Положение массы \(M\) задаётся координатой \(x\) её центра масс. Учитываем сухое трение между горизонтальной опорой и массой \(M\) без различия статического и динамического коэффициентов; модуль этой силы при скольжении обозначен \(F_s\).

Два упора ограничивают перемещение массы \(M\) так, что \(-X \le x \le X\) (с \(X > 0\)). Считаем, что значение \(X\) гарантирует, что:

• нижний конец двухчастной трубки никогда не касается дна кюветы и не выходит из ванны;

• высота \(z_\ell\) столба ртути всегда находится в верхней колбе.

Рис. 5. Реальные часы Кокса (без ртути).

Рис. 6. Схема системы, моделирующей часы. На рисунке: liquid mercury — жидкая ртуть; \(x\), \(-X\), \(X\), \(M\), \(\vec g\) — без изменений.

Таблица 2. Размеры и обозначения модельной системы:

• 1 — кювета: высота \(H_c = 30\) см, площадь сечения \(S_c = 210\) см\(^2\), пустая масса \(m_c\);

• 2 — трубчатая часть барометрической трубки: высота \(H_t = 80\) см, площадь сечения \(S_t = 5\) см\(^2\);

• 2\('\) — колба барометрической трубки: высота \(H_b = 20\) см, площадь сечения \(S_b = 200\) см\(^2\);

• полная масса барометрической трубки (для 2 и 2\('\)): \(m_{\rm tb}\).

Система взаимодействует с атмосферой, давление которой колеблется как на рис. 4 (с амплитудой \(A = 5\cdot10^{2}\) Па и периодом \(\tau_1 = 1\) неделя). В начальный момент \(t = 0\) масса \(M\) покоится в \(x = 0\), натяжения двух тросов по обе стороны от массы \(M\) уравновешены, при \(P_1(0) = 0\). Определим \[\xi = \frac{S_b + S_c - S_t}{S_b S_c}\,\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b + S_c}{S_b S_c}\,\frac{F_s}{A}, \tag{3}\] где последнее выражение использует \(S_t \ll S_b, S_c\) (что будем считать справедливым до конца задачи).

C.1. Определите пороговое значение \(\xi^\star\), такое что \(M\) остаётся неподвижной неограниченно долго при \(\xi > \xi^\star\). (1 балл)

Только для следующего вопроса предположим, что масса \(M\) временно заблокирована в \(x = X\).

C.2. Выразите полную силу натяжения \(\vec T = T\,\vec u_x\), действующую на массу \(M\) со стороны двух тросов в этом положении, при \(P_1 = 0\), через \(\rho\), \(g\), \(X\) и соответствующие площади сечений. (1 балл)

При \(\xi < \xi^\star\), начиная снова с \(x = 0\) и \(P_1 = 0\), для \(t \ge 0\) можно наблюдать два различных поведения. Чтобы их различить, введём ещё один параметр \[\lambda = 2\,\frac{S_b - S_t}{S_b}\,\frac{\rho g X}{A} \simeq \frac{2\rho g X}{A}. \tag{4}\]

C.3. Заполните таблицу в листе ответов, указав условие, при котором реализуется каждый режим. Условия должны быть записаны как неравенства для \(\xi\) и/или \(\lambda\). Кроме того, постройте эскиз зависимости \(x(t)/X\) для \(t \in [0, 3\tau_1]\), согласованный с уже известными изменениями \(P_1(t)/A\). Координаты характерных точек указывать не требуется. (2 балла)

В реальных часах Кокса энергия, которую даёт механизм, запасается с помощью системы храповиков и используется для подъёма противовеса, как в традиционных часах. В упрощённой модели, изучаемой здесь, энергия, которую восстанавливают часы, соответствует энергии, рассеянной силой трения, действующей со стороны горизонтальной поверхности на массу \(M\). Далее считаем, что система сконструирована так, чтобы работать в режиме, позволяющем часам восстанавливать энергию. Также считаем, что установился периодический режим. Обозначим \(W\) энергию, рассеянную силой сухого трения за период \(\tau_1\); её можно выразить только через \(F_s\) и \(X\).

При прочих равных \(F_s\) и \(X\) можно подбирать так, чтобы максимизировать энергию \(W\); их значения в оптимальной ситуации обозначим \(F_s^\star\) и \(X^\star\).

C.4. Считая \(S_b \simeq S_c\) и \(S_t \ll S_b\), определите выражения для \(F_s^\star\) и \(X^\star\) как функций \(\rho\), \(g\), \(S_c\) и \(A\). Выразите соответствующую максимальную энергию \(W^\star\), затем вычислите её численное значение при \(A = 5\cdot10^{2}\) Па. (1 балл)

Обозначим \(W^\star_{\rm pr}\) работу сил атмосферного давления, полученную системой в оптимальной ситуации за период \(\tau_1\).

C.5. Выразите \(W^\star_{\rm pr}\), затем вычислите отношение \(W^\star/W^\star_{\rm pr}\). Может оказаться полезным изобразить эволюцию системы на диаграмме \((P, V)\), где \(V\) — объём системы. (1,7 балла)