Шампанское!

Предупреждение: чрезмерное употребление алкоголя вредно для здоровья, а употребление алкоголя лицами моложе установленного законом возраста запрещено.

Шампанское — французское игристое вино. Брожение сахаров производит углекислый газ (CO\(_2\)) в бутылке. Молярная концентрация CO\(_2\) в жидкой фазе \(c_\ell\) и парциальное давление \(P_{\rm CO_2}\) в газовой фазе связаны законом \(c_\ell = k_H P_{\rm CO_2}\), известным как закон Генри, где \(k_H\) называется константой Генри.

Данные:

• поверхностное натяжение шампанского \(\sigma = 47\cdot10^{-3}\) Дж\(\cdot\)м\(^{-2}\);

• плотность жидкости \(\rho_\ell = 1{,}0\cdot10^{3}\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\);

• константа Генри при \(T_0 = 20\) °C: \(k_H(20\,\text{°C}) = 3{,}3\cdot10^{-4}\) моль\(\cdot\)м\(^{-3}\cdot\)Па\(^{-1}\);

• константа Генри при \(T_0 = 6\) °C: \(k_H(6\,\text{°C}) = 5{,}4\cdot10^{-4}\) моль\(\cdot\)м\(^{-3}\cdot\)Па\(^{-1}\);

• атмосферное давление \(P_0 = 1\) бар \(= 1{,}0\cdot10^{5}\) Па;

• газы идеальные с показателем адиабаты \(\gamma = 1{,}3\).

Рис. 1. Бокал, наполненный шампанским.

Часть A. Зарождение, рост и подъём пузырьков

Сразу после открытия бутылки шампанского при температуре \(T_0 = 20\) °C мы наполняем бокал. Давление в жидкости равно \(P_0\), её температура остаётся постоянной и равной \(T_0\). Концентрация \(c_\ell\) растворённого CO\(_2\) превышает равновесную концентрацию, и мы изучаем зарождение пузырька CO\(_2\). Обозначим \(a\) его радиус, а \(P_b\) — его внутреннее давление.

A.1. Выразите давление \(P_b\) через \(P_0\), \(a\) и \(\sigma\). (0,2 балла)

В жидкости концентрация растворённого CO\(_2\) зависит от расстояния до пузырька. На большом расстоянии она равна \(c_\ell\), а вблизи поверхности пузырька обозначим её \(c_b\). По закону Генри \(c_b = k_H P_b\). Далее во всей задаче предполагаем, что пузырьки содержат только CO\(_2\).

Так как \(c_\ell \ne c_b\), молекулы CO\(_2\) диффундируют из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией. Также предполагаем, что любая молекула из жидкой фазы, достигшая поверхности пузырька, переходит в пар.

A.2. Выразите критический радиус \(a_c\), выше которого пузырёк, как ожидается, растёт, через \(P_0\), \(\sigma\), \(c_\ell\) и \(c_0\), где \(c_0 = k_H P_0\). Рассчитайте численно \(a_c\) для \(c_\ell = 4c_0\). (0,5 балла)

На практике пузырьки в основном растут из уже существующих газовых полостей. Рассмотрим пузырёк с начальным радиусом \(a_0 \approx 40\) мкм. Число молей CO\(_2\), переходящих на поверхность пузырька за единицу площади и единицу времени, обозначим \(j\). Для \(j\) возможны две модели:

• модель (1): \(j = \dfrac{D}{a}(c_\ell - c_b)\), где \(D\) — коэффициент диффузии CO\(_2\) в жидкости;

• модель (2): \(j = K(c_\ell - c_b)\), где \(K\) — здесь постоянная.

Экспериментально зависимость радиуса пузырька \(a(t)\) от времени показана на рис. 2. Здесь \(c_\ell \approx 4c_0\), и, поскольку пузырьки достаточно велики, чтобы быть видимыми, избыточным давлением, обусловленным поверхностным натяжением, можно пренебречь, \(P_b \approx P_0\).

Рис. 2. Зависимость радиуса пузырька CO\(_2\) от времени в бокале шампанского (адаптировано из [1]).

A.3. Выразите число молей CO\(_2\) \(n_c\) в пузырьке через \(a\), \(P_0\), \(R\) и \(T_0\). Найдите \(a(t)\) для обеих моделей. Укажите, какая модель объясняет экспериментальные результаты на рис. 2. В зависимости от ответа рассчитайте численно \(K\) или \(D\). (1,2 балла)

В конце концов пузырьки отрываются от дна бокала и продолжают расти, поднимаясь. На рис. 3 показана цепочка пузырьков. Пузырьки цепочки имеют одинаковый начальный радиус и испускаются с постоянной частотой \(f_b = 20\) Гц.

Рис. 3. Цепочка пузырьков. Фото повёрнуто горизонтально для вёрстки страницы (адаптировано из [1]). На рисунке: \(\vec u_z\), \(\vec g_0\) — без изменений; 1 mm — 1 мм.

Для диапазона скоростей, рассматриваемых здесь, сила сопротивления \(F\) на пузырёк радиуса \(a\), движущийся со скоростью \(v\) в жидкости с динамической вязкостью \(\eta\), задаётся законом Стокса \(F = 6\pi\eta a v\). Измерения показывают, что в любой момент времени пузырёк можно считать движущимся с установившейся (предельной) скоростью.

A.4. Запишите выражения для основных сил, действующих на вертикально поднимающийся пузырёк. Получите выражение \(v(a)\). Дайте численную оценку \(\eta\), используя \(\rho_\ell\), \(g_0\) и величины, измеренные на рис. 3. (0,8 балла)

Квазистационарный рост пузырьков со скоростью \(q_a = \dfrac{da}{dt}\) по-прежнему применим во время подъёма пузырька.

A.5. Выразите радиус \(a_{H_\ell}\) пузырька, достигающего свободной поверхности, через пройденную высоту \(H_\ell\), скорость роста \(q_a = \dfrac{da}{dt}\) и любые необходимые постоянные. Предполагая \(a_{H_\ell} \gg a_0\) и \(q_a\) постоянной, дайте численное значение \(a_{H_\ell}\) при \(H_\ell = 10\) см и \(q_a\), соответствующей рис. 2. (0,5 балла)

Пусть имеется \(N_b\) центров зарождения пузырьков. Считаем, что пузырьки зарождаются с постоянной частотой \(f_b\) на дне бокала шампанского (высота \(H_\ell\) для объёма \(V_\ell\)), при этом \(a_0\) по-прежнему пренебрежимо мало. Диффузией CO\(_2\) на свободной поверхности пренебрегаем.

A.6. Запишите дифференциальное уравнение для \(c_\ell(t)\). Из этого уравнения получите характерное время \(\tau\) убывания концентрации растворённого CO\(_2\) в жидкости. (1,1 балла)

Часть B. Акустическое излучение лопающегося пузырька

Маленькие пузырьки почти сферические, когда достигают свободной поверхности. Как только жидкостная плёнка, отделяющая пузырёк от воздуха, достаточно истончается, в плёнке образуется круглое отверстие радиуса \(r\), которое под действием поверхностного натяжения очень быстро раскрывается (рис. 4, слева). Отверстие раскрывается с постоянной скоростью \(v_f\) (рис. 4, справа). Плёнка за пределами обода остаётся неподвижной и имеет постоянную толщину \(h\).

Из-за диссипативных процессов только половина разности поверхностной энергии между моментами \(t\) и \(t + dt\) обода и накопленной им жидкости переходит в кинетическую энергию. Далее считаем, что изменение поверхности обода пренебрежимо мало по сравнению с изменением поверхности плёнки.

Рис. 4. (Слева) (\(\alpha\)) Пузырёк на поверхности: (1) жидкость, (2) воздух под давлением \(P_0\) и (3) CO\(_2\) под давлением \(P_b\); (\(\beta\)) и (\(\gamma\)) втягивание жидкой плёнки, где обод показан тёмно-синим; (\(\delta\)) схлопывание пузырька. (Справа) Втягивание жидкой плёнки в момент \(t\): сверху — схема проколотой плёнки, вид сверху; снизу — поперечное сечение обода и втягивающейся плёнки. За время \(dt\) обод накапливает близлежащую жидкость (пунктир). На рисунке: rim — обод; film — плёнка (без изменений в обозначениях \(r(t)\), \(R_{\rm m}\), \(h\), \(v_f\), \(A\)).

B.1. Выразите \(v_f\) через \(\rho_\ell\), \(\sigma\) и \(h\). (1,1 балла)

Когда плёнка лопается, она высвобождает внутреннее давление и испускает звук. Мы моделируем это акустическое излучение резонатором Гельмгольца: полостью, открытой в атмосферу с давлением \(P_0\) через узкое отверстие площадью \(S\) (рис. 5, слева). В горлышке масса \(m_p\) совершает малые колебания под действием сил давления, которые она испытывает, когда газ в полости адиабатически расширяется или сжимается. Сила тяжести, действующая на \(m_p\), пренебрежимо мала по сравнению с силами давления. Пусть \(V_0\) — объём газа под массой \(m_p\) при \(P = P_0\) и \(z = 0\).

Рис. 5. (Слева) Резонатор Гельмгольца. (Справа) Пузырёк как осциллятор. На рисунке: \(P(t)\), \(P_0\), \(m_p\), \(S\), \(z\), \(a\), \(2r\) — без изменений.

B.2. Выразите частоту колебаний \(f_0\) массы \(m_p\). Подсказка: при \(\varepsilon \ll 1\) выполняется \((1+\varepsilon)^\alpha \approx 1 + \alpha\varepsilon\). (1,1 балла)

Модель Гельмгольца можно применить к пузырьку радиуса \(a\); \(V_0\) — объём закрытого пузырька. По литературным данным масса эквивалентного поршня равна \(m_p = \dfrac{8\rho_g r^3}{3}\), где \(r\) — радиус круглого отверстия, а \(\rho_g = 1{,}8\) кг\(\cdot\)м\(^{-3}\) — плотность газа (рис. 5, справа). В процессе разрыва \(r\) меняется от \(0\) до \(r_c\), заданного формулой \(r_c = \dfrac{2}{\sqrt3}\,a^2\sqrt{\dfrac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}\). Одновременно частота испускаемого звука возрастает до максимального значения \(40\) кГц, а время разрыва равно \(t_b = 3\cdot10^{-2}\) мс.

B.3. Найдите радиус \(a\) и толщину \(h\) плёнки шампанского, отделяющей пузырёк от атмосферы. (1,1 балла)

Часть C. Открытие бутылки шампанского

В бутылке полное количество CO\(_2\) равно \(n_T = 0{,}2\) моль: часть растворена в объёме \(V_L = 750\) мл жидкого шампанского, а часть — в газовой фазе в объёме \(V_G = 25\) мл под пробкой (рис. 6, слева). \(V_G\) содержит только CO\(_2\). Равновесие между двумя фазами CO\(_2\) подчиняется закону Генри. Предполагаем, что быстрое расширение газообразного CO\(_2\) при открытии бутылки адиабатическое и обратимое. Температура окружающей среды \(T_0\) и давление \(P_0 = 1\) бар постоянны.

Рис. 6. Слева: традиционное горлышко: (1) окружающий воздух, (2) пробка, (3) газовое пространство под пробкой (headspace), (4) жидкое шампанское. Справа: два явления, наблюдаемые при открытии бутылки при двух различных температурах (адаптировано из [2]). На рисунке: \(P_0\), \(P_i, V_G\), \(c_\ell = k_H P_i\), \(V_L\), \(d\), \(\ell_0\) — без изменений.

C.1. Дайте численное значение давления газообразного CO\(_2\) \(P_i\) в бутылке при \(T_0 = 6\) °C и при \(T_0 = 20\) °C. (0,4 балла)

Другой этап производства шампанского (здесь не описанный) приводит к следующим значениям \(P_i\), которые мы будем использовать в следующих вопросах: \(P_i = 4{,}69\) бар при \(T_0 = 6\) °C и \(P_i = 7{,}45\) бар при \(T_0 = 20\) °C.

При открытии бутылки в зависимости от \(T_0\) могут наблюдаться два различных явления (рис. 6, справа):

• либо появляется синий туман, обусловленный образованием твёрдых кристаллов CO\(_2\) (при этом конденсация воды подавлена);

• либо появляется серовато-белый туман, обусловленный конденсацией водяного пара в воздухе вокруг горлышка. В этом случае твёрдые кристаллы CO\(_2\) не образуются.

Давление насыщенного пара \(P^{\rm CO_2}_{\rm sat}\) для перехода твёрдое тело — газ у CO\(_2\) задаётся формулой \(\log_{10}\!\left(\dfrac{P^{\rm CO_2}_{\rm sat}}{P_0}\right) = A - \dfrac{B}{T + C}\), где \(T\) в К, \(A = 6{,}81\), \(B = 1{,}30\cdot10^{3}\) К и \(C = -3{,}49\) К.

C.2. Дайте численное значение \(T_f\) — температуры газообразного CO\(_2\) в конце расширения после открытия бутылки при \(T_0 = 6\) °C и при \(T_0 = 20\) °C, если фазового перехода не происходит. Выберите, какие утверждения верны (возможно несколько):

1. При \(T_0 = 6\) °C при открытии бутылки появляется серовато-белый туман.

2. При \(T_0 = 6\) °C при открытии бутылки появляется синий туман.

3. При \(T_0 = 20\) °C при открытии бутылки появляется серовато-белый туман.

4. При \(T_0 = 20\) °C при открытии бутылки появляется синий туман.

(0,7 балла)

При открытии бутылки пробка выскакивает. Определим максимальную высоту \(H_c\), которой она достигает. Предполагаем, что сила трения \(F\), действующая со стороны горлышка на пробку, равна \(F = \alpha A\), где \(A\) — площадь контакта, а \(\alpha\) — постоянная, которую нужно определить. Вначале сила давления незначительно превышает силу трения. Масса пробки \(m = 10\) г, её диаметр \(d = 1{,}8\) см, а длина цилиндрической части, изначально застрявшей в горлышке, \(\ell_0 = 2{,}5\) см. После того как пробка покинет горлышко, результирующей силой давления можно пренебречь.

C.3. Дайте численное значение \(H_c\) при внешней температуре \(T_0 = 6\) °C. (1,3 балла)