Задачи › Равновесие тел, моменты сил

Четыре шарика на пружинах и стержнях

  1. Четыре шарика на пружинах и стержнях

    Всесибирская 2023/24, отборочный этап, 10 кл. · №25363
    6/10PDF: условиес решением

    На горизонтальной поверхности четыре одинаковых шарика при помощи одинаковых легких стержней длины \(l\) каждый прикрепили к легкому шарниру \(O\) и соединили одинаковыми легкими пружинами жесткостью \(k\) каждая. Конструкция приняла форму квадрата, при этом пружины не были деформированы. После того, как конструкцию подвесили за один из грузов, и она пришла в равновесие, между стержнями установились углы \(120^\circ\), \(60^\circ\), \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Определите массу шарика. Все шарики находятся в одной плоскости, их размеры пренебрежимо малы. Ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок
    ▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
    Подсказка

    Недеформированная пружина — диагональ квадрата со стороной \(l\sqrt{2}\). Запишите условие равновесия одного шарика в направлении, перпендикулярном стержню.

    ▶ОтветСкрыть: ответ
    Ответ

    \(m=\dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}-1)\,kl}{\sqrt{3}\,g}\).

    ▶РешениеСкрыть: решение
    Решение

    Исследуем равновесие шарика \(A\). На него действуют сила тяжести \(mg\), сила упругости нижней пружины \(F_1\), сила упругости верхней пружины \(F_2\) и сила \(N\) реакции опоры со стороны стержня.

    Длина недеформированной пружины \(l_0=l\sqrt{2}\), длина нижней пружины \(l\), верхней — \(l\sqrt{3}\), откуда силы $$F_1=kl\left(\sqrt{2}-1\right),  F_2=kl\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right).$$

    Условие равновесия в направлении \(AB\), перпендикулярном стержню \(OA\): $$F_1\cos30^\circ+F_2\cos60^\circ-mg\cos30^\circ=0.$$

    Рисунок

    Подставляя значения сил, находим \(m=\dfrac{\sqrt{2}\,(\sqrt{3}-1)\,kl}{\sqrt{3}\,g}\).

    Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиНашли ошибку?

Похожие задачи

наверх