Опоздавший пассажир на моноколесе

Максимальное отставание достигается, когда скорость пассажира сравнялась со скоростью поезда. Дальше сравните, насколько пассажир обогнал дверь за время торможения.

\(S=L\,\dfrac{a_2}{a_1}\).

Пусть \(v_0\) — скорость поезда, а пассажир догоняет его в момент \(t_2\) со скоростью \(v_1\). Тогда \(v_0t_2=\dfrac{a_1t_2^2}{2}=\dfrac{v_1t_2}{2}\), откуда \(v_1=2v_0\).

Максимальное отставание достигается в момент \(t_1\), когда скорость пассажира сравнивается со скоростью поезда: \(t_1=\dfrac{v_0}{a_1}\) (см. график). Тогда $$S=\frac{a_1t_1^2}{2}=\frac{v_0^2}{2a_1}.$$

Время торможения пассажира \(t_3-t_2=\dfrac{v_1-v_0}{a_2}=\dfrac{v_0}{a_2}\). За это время поезд проходит путь \(S_1=v_0(t_3-t_2)\), а пассажир — путь \(S_2=\dfrac{(v_1+v_0)(t_3-t_2)}{2}=\dfrac{3v_0(t_3-t_2)}{2}\). Относительное перемещение пассажира и поезда $$L=S_2-S_1=\frac{v_0(t_3-t_2)}{2}=\frac{v_0^2}{2a_2}.$$ Отсюда \(v_0^2=2a_2L\), и подстановка в формулу для \(S\) даёт ответ \(S=L\,\dfrac{a_2}{a_1}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.