Пружина против Архимеда

Рассмотрите три случая по мере подъёма уровня воды: куб лежит на дне, куб всплывает и растягивает пружину, пружина удерживает куб целиком под водой. Для каждого случая запишите условие равновесия сил.

Поначалу, при достаточно низком уровне, куб лежит на дне. В этом случае под водой находится часть объёма, соответствующая глубине слоя воды: \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac{a^2H}{a^3}=\dfrac Ha\). Отрыв куба от дна произойдёт, когда сила Архимеда сравняется с силой тяжести: \(F_A=\rho a^2Hg=mg=\dfrac{\rho}{5}a^3g\Rightarrow H_1=\dfrac a5\). Таким образом, при \(H>\dfrac a5\) куб оторвётся от дна и будет всплывать вместе с подъёмом уровня жидкости. Пока пружина не натянется, сохраняется равновесие сил Архимеда и тяжести, и поэтому глубина погружения куба не меняется: \(\dfrac{V_n}{V}=\dfrac15\). Пружина натянется, когда высота уровня сравняется с суммой \(l=4a\) и глубины погружения, то есть при \(H_2=\dfrac{21}{5}a\).

Далее условие равновесия сил принимает вид: \(F_A=mg+k\Delta l\Rightarrow\rho a^2xg=\dfrac{\rho}{5}a^3g+k(H-4a-x)\), где \(x\) — глубина погружения куба, \(k\) — коэффициент жёсткости пружины, удлинение которой \(\Delta l=H-l-x=H-4a-x\). Поскольку согласно условию \(k\dfrac a4=mg=\dfrac{\rho}{5}a^3g\), то \(k=\dfrac45\rho a^2g\), и поэтому \(x=\dfrac a5+\dfrac45(H-4a-x)\Rightarrow x=\dfrac{4H-15a}{9}\Rightarrow\dfrac{V_n}{V}=\dfrac{4H}{9a}-\dfrac53\).

По смыслу эта величина не может быть больше единицы, поэтому формула применима только до уровня \(H_3=6a\) (при котором \(\dfrac{4H}{9a}-\dfrac53=1\)). При большем уровне воды пружина уже целиком удерживает куб под водой, и \(\dfrac{V_n}{V}=1\).