Гонки по наклонной

Для каждого мальчика время складывается из времени подъёма (или спуска) по своему эскалатору и времени погони за портфелями на спускающемся эскалаторе.

Время «погони» для Петра состоит из времени подъёма по своему эскалатору \(t_1=\dfrac{L}{2(V_1+u)}\) (здесь \(L\) — длина эскалатора, \(u\) — скорость его движения) и времени спуска \(t_2\) по встречному эскалатору до портфелей. За время подъёма портфели удалились от верха эскалатора на \(s=ut_1=\dfrac{uL}{2(V_1+u)}\), а Пётр догоняет портфели со скоростью \(V_2\), поэтому \(t_2=\dfrac{1}{V_2}\left[\dfrac L2+s\right]=\dfrac{L(V_1+2u)}{2V_2(V_1+u)}\). Полное время погони \(t_{П}=t_1+t_2=\dfrac{L(V_1+V_2+2u)}{2V_2(V_1+u)}\).

Аналогично для Василия: \(t_1'=\dfrac{L}{2(V_2-u)}\), \(s'=ut_1'=\dfrac{uL}{2(V_2-u)}\), \(t_2'=\dfrac{1}{V_1}\left[\dfrac L2-s'\right]=\dfrac{L(V_2-2u)}{2V_1(V_2-u)}\). Следовательно, \(t_{В}=t_1'+t_2'=\dfrac{L(V_1+V_2-2u)}{2V_1(V_2-u)}\).

Мальчики одновременно добегут до портфелей, если \(t_{П}=t_{В}\), что приводится к виду \(u(V_2-V_1)(V_2-V_1-2u)=0\). По условию \(u\ne0\), поэтому возможны соотношения \(V_2=V_1\) и \(V_2=V_1+2u\). Чтобы встреча произошла на эскалаторе, Василий должен достигать нижней точки своего эскалатора раньше, чем портфели доедут до нижней точки своего, то есть \(V_2-u>u\Rightarrow V_2>2u\). Поскольку по условию \(V_1>0\), при \(V_2=V_1+2u\) это требование выполнено, а при \(V_2=V_1\) оно ограничивает возможные значения скоростей.