Кубы на льду

Выразите давление куба на лёд через его ребро \(a\): вес куба делится на площадь грани. Для цельного куба давление растёт с \(a\), а для полого рёбра дают массу, пропорциональную \(a\), и давление падает с ростом \(a\).

Цельный куб с ребром \(a\) имеет массу \(m = \rho_1 a^3\) и опирается гранью площадью \(S = a^2\), поэтому давление на поверхность \[P = \frac{F}{S} = \frac{mg}{S} = \frac{\rho_1 a^3 g}{a^2} = \rho_1 a g.\] Давление растёт с размером куба. Безопасно ставить кубы с \(\rho_1 a g \le P_{max}\), откуда \[a = \frac{P_{max}}{\rho_1 g} = \frac{10^4~\text{Па}}{700~\text{кг/м}^3 \cdot 10~\text{Н/кг}} \approx 1{,}43~\text{м}.\] Для полого куба масса каркаса равна \(m = 12\,\rho_l a\), где \(\rho_l\) — линейная плотность трубы. Давление \[P = \frac{mg}{S} = \frac{12\rho_l a g}{a^2} = \frac{12\rho_l g}{a}\] убывает с ростом \(a\). Безопасно, когда \(\dfrac{12\rho_l g}{a} \le P_{max}\), то есть при \[a \ge \frac{12\rho_l g}{P_{max}} = \frac{12 \cdot 50~\text{кг/м} \cdot 10~\text{Н/кг}}{10^4~\text{Па}} \approx 0{,}6~\text{м}.\]