Центр шестерни

Центр шестерни всегда лежит посередине отрезка AB. Рассмотрите, как движется каждая из двух проекций этого отрезка на оси, параллельные направлениям движения A и B.

Если центр шестерни \(O\) неподвижен, он всегда остаётся центром отрезка AB — это видно из симметрии системы: рейка \(a\) смещается на столько же зубцов, что и рейка \(b\). Аналогичный вывод верен и при движении точки \(O\): для наблюдателя, всегда находящегося над точкой \(O\), всё будет выглядеть так же, как описано выше.

Таким образом, забываем теперь о рейках и шестерне и можем думать о задаче в упрощённом виде: точка \(O\) — всегда середина отрезка AB, хотя длина последнего может меняться. По условию один конец этого отрезка движется по горизонтальной прямой — обозначим её \(m\), другой по вертикальной (на рисунке) прямой — обозначим её \(n\).

Выберем оси координат совпадающими с прямыми \(m\) и \(n\). \(O\) — центр AB, следовательно, по каждой из осей \(O\) находится посередине между A и B. Но по каждой из выбранных осей один из концов AB не меняет положения, а значит \(O\) движется с половинной скоростью другого конца. Таким образом, \(O\) будет двигаться по прямой, и её горизонтальная скорость будет равняться \(V_a/2\), а вертикальная — \(V_b/2\).