Пельмени

Сколько энергии за интервал \(\tau\) даёт плита, и сколько уходит на догрев очередной пельмешки до кипения? Остаток тепла идёт на кипение воды; выразите время кипения между пельмешками и сравните его с интервалом.

Рассмотрим следующую величину: количество теплоты, которое нужно сообщить системе, чтобы нагреть её до \(T = 100\,^{o}\)C, т.е. довести воду в ней до кипения. Назовём эту величину \(Q_{-}\). В начальный момент, когда система состоит только из воды, \(Q_{-0} = (100 - 95) \cdot 8400 = 42\) кДж. Каждый пельмень, который докидывают в кастрюлю, увеличивает \(Q_{-}\) на \(E_{\text{П}} = 0{,}02 \cdot 3 \cdot 100 = 6\) кДж (т.к. теперь нам нужно нагреть до \(100\,^{o}\)C целый лишний пельмень, а на его нагревание должно уйти ровно столько теплоты). При этом за период времени длины \(\tau\) (от закидывания одного пельменя до закидывания следующего) в систему от плиты поступает энергия \(E_{+} = P \cdot \tau\). Ясно, что для того, чтобы у воды вообще были шансы закипеть, \(E_{+}\) должна быть больше 6 кДж. Также заметим следующее: если между закидыванием каких-то двух пельменей вода закипела, то между закидыванием следующих она также закипит. Действительно: если она закипела, то во-первых \(E_{+} > 6\) кДж, а во-вторых, в момент закипания \(Q_{-}\) станет равной нулю. Тогда в момент закидывания следующего пельменя \(Q_{-}\) станет равной 6 кДж. Но \(E_{+} > 6\) кДж, т.е. плита за следующий промежуток времени сумеет передать достаточное количество теплоты, следовательно, момент кипения настанет вновь.

Таким образом, осталось лишь определить первый момент, в который закипит вода. Ответим сначала на вопрос задачи при \(\tau = 10\) с. Тогда \(E_{+} = 15\) кДж. В конце 4-го промежутка времени \(\tau\) (прямо перед закидыванием пятой пельмешки) \(Q_{-} = 42 + 4 \cdot 6 - 4 \cdot 15 = 6\) кДж, т.е. вода ещё не закипала. Но за пятый промежуток времени \(Q_{-}\) увеличится на 6 кДж за счёт закидывания следующей пельмешки, и должна уменьшится на 15 кДж за счёт энергии от плиты. Но здесь-то наша величина \(Q_{-}\) и обнулится, а значит, на пятом промежутке времени вода впервые и закипит. Таким образом, всего вода в кастрюле закипит 10 раз (после 5-й, 6-й, …, 14-й пельмешек).