Частица в скрещённых полях

В магнитном поле частица движется по дуге окружности, а в электрическом — по параболе. Вычислите смещение вдоль плоскости и время за один период; средняя скорость — отношение смещения к времени за период.

В магнитном поле радиус дуги \(R=\dfrac{mv}{qB}\), время движения по дуге \(T_B=\dfrac{2m\alpha}{qB}\), смещение вдоль плоскости \(L_B=2R\sin\alpha=\dfrac{2mv\sin\alpha}{qB}\).

Скорость при входе в электрическое поле остаётся равна \(v\) и составляет тот же угол \(\alpha\). Ускорение \(a=\dfrac{qE}{m}\) направлено к плоскости; время движения по параболе \(T_E=\dfrac{2v\sin\alpha}{a}=\dfrac{2mv\sin\alpha}{qE}\), смещение \(L_E=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{a}=\dfrac{mv^2\sin2\alpha}{qE}\).

Когда частица возвращается к плоскости, её скорость снова равна \(v\) под тем же углом \(\alpha\), поэтому движение периодично с периодом \(T_B+T_E\) и смещением \(L_B+L_E\) за период. Средняя скорость \[v_{\text{ср}}=\frac{L_B+L_E}{T_B+T_E}=\frac{v\sin\alpha\,(E+Bv\cos\alpha)}{\alpha E+Bv\sin\alpha}.\] При \(\alpha\to 0\) числитель и знаменатель стремятся к нулю, но с учётом \(\sin\alpha\approx\alpha\), \(\cos\alpha\approx 1\) получаем \(v_{\text{ср}}=v\): частица летит вдоль плоскости. При \(\alpha=\pi\) средняя скорость равна нулю: частица вращается по окружности радиуса \(R\) и не попадает в электрическое поле. Если \(E<Bv\), средняя скорость обращается в ноль при \(\cos\alpha=-E/(Bv)\), то есть при \(\alpha=\pi-\arccos(E/Bv)\); в этом случае траектория замкнута.