Задачи › Упругие столкновения

Бусины на нити

  1. Бусины на нити

    Санкт-Петербургская 2019/20, 11 кл.
    6/10

    На длинную туго натянутую нить нанизаны металлические бусины \(1\), \(2\) и \(4\), а также обладающая магнитными свойствами бусина \(3\), притягивающая к себе металл. Если от слипшихся бусин \(1\), \(2\) и \(3\) отлепить бусину \(4\) и отодвинуть её на расстояние \(x\) от центра соседней с ней бусины \(3\), то на неё будет действовать сила \(F_1(x)\), стремящаяся вернуть её обратно (рис. а). Если же от бусин \(2\), \(3\), \(4\) отлепить бусину \(1\) и отодвинуть её на расстояние \(x\) от центра соседней с ней бусины \(2\), то на неё будет действовать возвращающая сила \(F_2(x)\) (рис. б). Графики \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\) представлены на отдельном листе.

    В сторону изначально покоящихся слипшихся бусин \(1\), \(2\) и \(3\) с большого расстояния запускают со скоростью \(v\) бусину \(4\) (рис. в). Какую скорость будет иметь бусина \(1\) через большой промежуток времени после всех соударений? Все бусины имеют одинаковую массу \(m\). Металлические бусины имеют радиус \(r\) каждая, а магнитная — радиус \(2r\). На графике в качестве масштаба по оси ординат дана величина \(f_0=mv^2/r\). Бусины сталкиваются абсолютно упруго. Трением пренебречь.

    Рисунок
    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Импульс сохраняется, так как внешних сил вдоль нити нет. Магнитная сила совершает работу при притяжении и при отталкивании, поэтому механическая энергия не сохраняется. Работа равна разности площадей под графиками \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\).

    Ответ

    \(u=\dfrac{v}{4}\left(1+\sqrt{24k+9}\right)\approx 1{,}6\,v\), где \(k\approx 0{,}93\) (см. решение).

    Решение

    На бусины не действуют внешние силы вдоль нити, поэтому выполняется закон сохранения импульса. Удары абсолютно упругие, но магнитная сила совершает ненулевую работу: она разгоняет правую бусину при притяжении и затем замедляет отлетающую влево. Работа \(A\) равна разности площадей под графиками \(F_1(x)\) и \(F_2(x)\). Подсчёт по клеткам даёт \(93\) клетки (погрешность около \(\pm 5\) клеток), то есть \(A=kmv^2\), где \(k=0{,}93\pm 0{,}05\).

    Пусть в конце скорость крайней левой бусины \(u\), а остальной системы \(u'\). Тогда \[mv=mu-3mu', \qquad \frac{mv^2}{2}+A=\frac{mu^2}{2}+\frac{3mu'^2}{2}.\] Сокращая массу и подставляя \(A\), получаем \[v=u-3u', \qquad (1+2k)v^2=u^2+3u'^2.\] Решая систему и отбрасывая отрицательный корень (он соответствует налёту бусины слева, а не справа), получаем \[u=\frac{v}{4}\left(1+\sqrt{24k+9}\right)\approx 1{,}6\,v.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх