Муравей на линейке

Средняя скорость равна полному пути, делённому на полное время. Время на каждом интервале обратно пропорционально скорости на нём, а скорости образуют геометрическую прогрессию.

Средняя скорость \(v_{\text{ср}} = S / T\). Длину интервала обозначим \(\Delta\), тогда \(S = n\Delta\). Скорость на первом интервале \(v_0\); на \(k\)-м интервале она равна \(v_0 \alpha^{k-1}\), и время на нём \(\Delta / (v_0 \alpha^{k-1})\). Общее время \[T = \frac{\Delta}{v_0}\left(1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2} + \dots + \frac{1}{\alpha^{99}}\right) = \frac{\Delta}{v_0}\cdot\frac{1 - (1/\alpha)^{100}}{1 - 1/\alpha} .\] Тогда \[v_{\text{ср}} = \frac{n\Delta}{T} = \frac{n v_0 (1 - 1/\alpha)}{1 - (1/\alpha)^{100}} .\] Скорость на последнем интервале \(v_0 \alpha^{99} = 0{,}01\) м/с, т.е. \(v_0 = \dfrac{0{,}01}{\alpha^{99}}\). Подставляя числа, получаем \(v_{\text{ср}} \approx 0{,}006\) м/с.