Тело на столе с блоком и грузами

Сначала проверьте, может ли верхнее тело массы \(2m\) оставаться неподвижным. Если нет, сравните силу натяжения нити с силой трения, которую может создать поверхность под большим телом.

Здесь возможны разные случаи.

(1) Если коэффициент трения между большим телом и телом массой \(2m\) является настолько большим, что тело массы \(2m\) покоится, то независимо от коэффициента трения между большим телом и горизонтальной поверхностью большое тело будет покоиться. Верхнее тело будет покоиться, если \[mg \le \mu_1 \cdot 2mg, \quad\text{или}\quad \mu_1 \ge \dfrac12.\] При выполнении этого неравенства большое тело будет покоиться независимо от коэффициента трения \(\mu_2\).

Пусть теперь \(\mu_1 < \dfrac12\). В этом случае верхние грузы будут двигаться. А будет ли двигаться большое тело? На него в горизонтальном направлении действует сила натяжения нити \(T\) (через блок, направлена влево) и сила трения со стороны верхнего груза, равная \(\mu_1 \cdot 2mg\), направленная вправо: \(T - 2\mu_1 mg\). А не давать двигаться ему будет сила трения, действующая между большим телом и горизонтальной поверхностью, \[\mu_2 N = \mu_2\left(5mg + T\right)\] (здесь \(T\) — сила натяжения нити, действующая на блок вертикально вниз и прижимающая большое тело к поверхности). То есть условием покоя большого тела при движущихся телах, прикреплённых к нити, будет условие \[\mu_2\left(5mg + T\right) \ge T - 2\mu_1 mg. \qquad (*)\] Найдём все эти силы. Силу \(T\) найдём, рассматривая движение верхних тел: \[3ma = mg - \mu_1 \cdot 2mg,\] где \(a\) — ускорение двух тел, прикреплённых к нити. Отсюда \[a = \dfrac13 g\left(1 - 2\mu_1\right).\]

А сила \(T\) сообщает такое ускорение верхнему телу: \[2ma = T - 2\mu_1 mg.\] Подставляя в эту формулу ускорение тел, получим \[T = \dfrac23 mg\left(1 + \mu_1\right).\] Подставляя силу \(T\) в условие покоя большого тела \((*)\), получим \[\mu_2 \ge \dfrac{2 - 4\mu_1}{17 + 2\mu_1}.\] Таким образом, большое тело будет покоиться при выполнении одного из двух условий или обоих: \[\mu_1 \ge \dfrac12 \quad\text{или}\quad \mu_2 \ge \dfrac{2 - 4\mu_1}{17 + 2\mu_1}.\]