Стержень в двугранном угле

Равновесие стержня соответствует экстремуму высоты его центра тяжести. Выразите эту высоту через угол \(\varphi\) и найдите экстремум.

Условием равновесия стержня является условие максимальной или минимальной высоты расположения над землёй его центра тяжести. Найдём положение центра тяжести стержня как функцию угла \(\varphi\), а затем найдём экстремум этой функции.

Верхняя точка стержня поднята над уровнем нижнего ребра двугранного угла на высоту \(l\cos(\alpha - \varphi)\sin\alpha\) (\(l\) — длина стержня). А центр тяжести стержня опущен по отношению к верхней точке на высоту \(\dfrac{l}{2}\sin\varphi\). Поэтому центр тяжести стержня будет на высоте \[h(\varphi) = l\cos(\alpha - \varphi)\sin\alpha - \dfrac{l}{2}\sin\varphi\] по отношению к нижнему ребру двугранного угла. Если считать угол \(\varphi\) положительным, когда верхний конец стержня опирается на левую грань двугранного угла (наклонённую под углом \(\alpha > 45^\circ\) к горизонту), и отрицательным, когда верхний конец стержня опирается на правую грань, то эта формула работает для \[\alpha - 90^\circ \le \varphi \le \alpha\] (\(\varphi = \alpha\) отвечает положению стержня, прижатому к левой грани, \(\varphi = \alpha - 90^\circ\) — положению, прижатому к правой грани).

Экстремум функции \(h(\varphi)\) можно найти, дифференцируя эту функцию по \(\varphi\) и приравнивая производную к нулю, а можно воспользоваться соответствующей тригонометрической формулой. Имеем \[h(\varphi) = \dfrac{l}{2}\left[\sin\varphi + \sin(2\alpha - \varphi)\right] - \dfrac{l}{2}\sin\varphi = \dfrac{l}{2}\sin(2\alpha - \varphi).\] Из этой формулы видно, что в тех пределах, в которых меняется угол \(\varphi\), аргумент последнего синуса меняется от \(\alpha\) до \(\alpha + 90^\circ\) и достигает минимумов на краях этого интервала, а максимума при \[2\alpha - \varphi = 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \varphi = 2\alpha - 90^\circ.\] Это и есть положения равновесия стержня: на краях интервала, то есть когда стержень касается граней двугранного угла, — положения устойчивого равновесия, а при \(\varphi = 2\alpha - 90^\circ\) — положение неустойчивого равновесия.