Освещённость от двух источников

Освещённость площадки складывается из вкладов двух источников, и каждый из них зависит от угла наклона площадки по-своему. Найдите максимум полученной суммы по углу.

Найдём освещённость площадки как функцию угла \(\alpha\) и исследуем эту функцию на максимум. Сначала источник с интенсивностью \(I\). Так как энергия, излучённая источником, нигде не накапливается, энергия, проходящая через сферу любого радиуса в единицу времени, равна \(I\). Поэтому через единицу площади сферы радиуса \(a\) пройдёт в единицу времени энергия \[w = \dfrac{I}{4\pi a^2},\] а значит, освещённость площадки, связанная с источником интенсивности \(I\), равна \[E_1 = w\cos\alpha = \dfrac{I}{4\pi a^2}\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между площадкой и перпендикуляром к направлению падения света. Аналогично для освещённости, связанной со вторым источником, получим \[E_2 = \dfrac{2I}{4\pi a^2}\sin\alpha.\] Из этих формул находим, что освещённость площадки равна \[E = E_1 + E_2 = \dfrac{I}{4\pi a^2}\left(\cos\alpha + 2\sin\alpha\right).\] Находя производную этой функции по \(\alpha\) и приравнивая производную к нулю, получим уравнение для угла \(\alpha_m\), которому отвечает максимум освещённости: \[\operatorname{tg}\alpha_m = 2 \quad\Rightarrow\quad \alpha_m = \operatorname{arctg}2.\] Чтобы найти освещённость для этого угла, выразим синус и косинус угла \(\alpha_m\) через его тангенс: \[\sin\alpha_m = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha_m}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha_m}} = \dfrac{2}{\sqrt5}, \qquad \cos\alpha_m = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha_m}} = \dfrac{1}{\sqrt5}.\] Отсюда находим максимальную освещённость площадки: \[E_m = \dfrac{I}{4\pi a^2}\left(\cos\alpha_m + 2\sin\alpha_m\right) = \dfrac{\sqrt5\, I}{4\pi a^2}.\] То, что это максимум (а не минимум), видно, например, из того, что при расположении площадки перпендикулярно световому потоку одного или второго источника её освещённость будет меньше этой величины. Например, при расположении площадки перпендикулярно световому потоку более интенсивного источника её освещённость будет равна \[E = \dfrac{2I}{4\pi a^2},\] что меньше найденной величины.