Задачи › Фотометрия, освещённость

Галактическая навигация

  1. Галактическая навигация

    «Покори Воробьёвы горы!» 2018/19, 7–9 кл.
    7/10

    Обитатели системы \(O\) часто совершают полёты в плоскости \((xy)\), в которой система декартовых координат связана с тремя удачно расположенными в этой плоскости яркими объектами (обозначенными на рисунке цифрами 1, 2 и 3). Расстояние между 1 и 2 \(a = 60\) кпс (парсек (пс) – астрономическая единица длины, \(1\) пс \(\approx 3{,}2\) св. года \(\approx 3\cdot10^{16}\) м), а между 2 и 3 \(b = 80\) кпс, угол между осями \(x\) и \(y\) прямой, а система \(O\) лежит точно между 1 и 3. Для ориентации в данной плоскости корабли оснащены телескопами, постоянно нацеленными на объекты 1, 2 и 3, свет от которых фокусируется на фотодатчиках. Датчики отрегулированы так, что при нахождении корабля рядом с системой \(O\) их токи одинаковы и равны \(I_0 = 120\) мА (ток датчика пропорционален мощности поступающего светового сигнала). Определите координаты корабля в этой системе координат, если токи датчиков равны \(I_1 = 37{,}5\) мА, \(I_2 = 60\) мА и \(I_3 = 300\) мА. На каком расстоянии от системы \(O\) находится в этот момент корабль? Поглощением света в межзвёздной среде можно пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Освещённость от точечного источника убывает как квадрат расстояния. Запишите расстояния от корабля до объектов 1, 2, 3 через его координаты и составьте разности квадратов расстояний.

    Ответ

    Координаты корабля \(x = 65\) кпс, \(y = 5\) кпс, \(z = \pm 27{,}4\) кпс; расстояние от корабля до системы \(O\) \(r \approx 44{,}7\) кпс.

    Решение

    Добавим третью ось \(z\), перпендикулярную плоскости. Все три объекта при нахождении корабля рядом с системой \(O\) удалены на одинаковое расстояние \(r_0 = \sqrt{a^2+b^2}/2\), поэтому ток датчика \(I_i = I_0\,\dfrac{a^2+b^2}{4r_i^2}\), то есть ток обратно пропорционален квадрату расстояния до объекта. Из выражений для \(r_1^2 = x^2 + (a-y)^2 + z^2\), \(r_2^2 = x^2 + y^2 + z^2\), \(r_3^2 = (b-x)^2 + y^2 + z^2\) получаем \[y = \frac{a}{2} + \frac{a^2+b^2}{8a}\left(\frac{I_0}{I_2} - \frac{I_0}{I_1}\right) = 5~\text{кпс}, \qquad x = \frac{b}{2} + \frac{a^2+b^2}{8b}\left(\frac{I_0}{I_2} - \frac{I_0}{I_3}\right) = 65~\text{кпс}.\] Далее \(z^2 = \dfrac{I_0}{I_2}\dfrac{a^2+b^2}{4} - x^2 - y^2 = 750\) кпс\(^2\), откуда \(z \approx \pm 27{,}4\) кпс. Координаты системы \(O\): \(x_0 = b/2 = 40\) кпс, \(y_0 = a/2 = 30\) кпс, и \(r = \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + z^2} = 20\sqrt5\) кпс \(\approx 44{,}7\) кпс.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх