Обогреватель

Скорость остывания пропорциональна разности температур внутри и снаружи (закон Фурье). Введите температуру \(t_c\), при которой мощности нагревателя хватает только на компенсацию теплопотерь, и выразите период через неё.

Пусть \(C\) — теплоёмкость домика с содержимым, \(\Delta t = 2\,^\circ\text{C}\). По закону Фурье мощность теплопотерь при наружной температуре \(t\) равна \(P_{ост} = A(t_0 - t)\), где \(A\) — постоянная. Тогда время остывания на \(\Delta t\) равно \(T_{ост} \approx \dfrac{C\Delta t}{A(t_0-t)}\), время нагревания \(T_н \approx \dfrac{C\Delta t}{P - A(t_0-t)}\), где \(P\) — мощность нагревателя, а период \(T = T_{ост} + T_н\). Введём \(t_c = t_0 - P/A\) — температуру, при которой мощности нагревателя хватает только на компенсацию теплопотерь; при \(t \le t_c\) нагреватель перестаёт выключаться. Тогда \(\dfrac{1}{T} = \dfrac{A^2}{C\Delta t P}(t_0-t)(t-t_c)\), минимальный период достигается при \(t_m = \dfrac{t_0+t_c}{2}\), и \(T_m = T_1\dfrac{4(t_0-t_1)(t_1-t_c)}{(t_0-t_c)^2}\). Из данных для \(t_1\) и \(t_2\) находим \(t_c = \dfrac{t_2(t_0-t_2)T_2 - t_1(t_0-t_1)T_1}{(t_0-t_2)T_2 - (t_0-t_1)T_1} = -48\,^\circ\text{C}\). Далее \(T_3 = T_1\dfrac{(t_0-t_1)(t_1-t_c)}{(t_0-t_3)(t_3-t_c)} = 85\tfrac{1}{3}\) мин \(= 85\) мин 20 с и \(T_m = 80\) мин, при \(t_m = -12\,^\circ\text{C}\). Уточнённый расчёт с использованием средней разности температур даёт \(t_c \approx -47{,}4\,^\circ\text{C}\), \(T_3 \approx 85{,}2\) мин, \(T_m \approx 79{,}9\) мин.