Катапульта

Дальность полёта шарика, запущенного под углом \(\varphi\), равна \(L = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\varphi\). Углы запуска двух шариков связаны условием попадания в одну точку. Удобно перейти в систему отсчёта нижнего шарика.

Дальность полёта шарика, выпущенного под углом \(\varphi\): \[L = \frac{v_0^2}{g}\,2\sin\varphi\cos\varphi = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\varphi. \qquad (6)\] Так как шарики с одинаковой начальной скоростью попадают в одну и ту же точку, углы \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) удовлетворяют условию \(2\varphi_1 = 180^\circ - 2\varphi_2\), что эквивалентно \[\varphi_1 + \varphi_2 = 90^\circ. \qquad (7)\] Векторы начальных скоростей направлены симметрично относительно луча, образующего угол \(45^\circ\) с горизонтом (рис. 17). Время, в течение которого оба шарика находятся в полёте, определяется временем полёта нижнего шарика (верхний шарик летит дольше): \[t_п = \frac{2v_0\sin(45^\circ - \alpha)}{g}. \qquad (8)\]

Перейдём в систему отсчёта, начало координат которой совпадает с нижним шариком, а ориентация осей неизменна. В этой системе верхний шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью \[\Delta v = 2v_0\sin\alpha. \qquad (9)\] За время \(t_п\) он удалится на расстояние \[L = \Delta v\, t_п = \frac{4v_0^2}{g}\sin\alpha\sin(45^\circ - \alpha) = \frac{2v_0^2}{g}\left(\cos(2\alpha - 45^\circ) - \cos 45^\circ\right). \qquad (10)\] Максимум достигается при \(\cos(2\alpha - 45^\circ) = 1\), то есть при \(\alpha = 22{,}5^\circ\). Значит, \[L_{\max} = \frac{2v_0^2}{g}\left(1 - \frac{1}{\sqrt2}\right),\] откуда начальная скорость \[v_0 = \sqrt{\frac{L_{\max}\,g}{2 - \sqrt2}} = 18~\text{м/с}.\]