Катушка с проводом

Отношение сил трения, действующих на внутреннюю поверхность катушки, равно отношению полных реакций опоры, а момент силы трения уравновешивает момент силы натяжения провода.

Решение 1. Пусть \(R\) — внешний радиус катушки, \(r\) — внутренний радиус, \(\mu\) — коэффициент трения между стержнем и катушкой, \(\vec Q\) — полная реакция опоры, равная сумме силы нормальной реакции \(\vec N\) и силы трения скольжения \(\vec F_{\text{тр}}\). Силы, действующие на катушку при равномерном разматывании, показаны на рис. 18 и 19.

Отношение модулей сил \(F_{\text{тр}}\) и \(Q\) зависит только от коэффициента трения, но не от силы \(F\), поэтому \(\dfrac{F_{\text{тр}1}}{F_{\text{тр}2}} = \dfrac{Q_1}{Q_2}\). Из равенства моментов сил относительно центра катушки \(FR = F_{\text{тр}}r\) получаем \(\dfrac{F_{\text{тр}1}}{F_{\text{тр}2}} = \dfrac{F_1}{F_2}\). Кроме того, \(Q_1 = F_1 + P\) и \(Q_2 = \sqrt{F_2^2 + P^2}\), где \(P = mg\). Решив систему, \[\frac{F_1}{F_2} = \frac{F_1 + P}{\sqrt{F_2^2 + P^2}},\] откуда \(P = \dfrac{2F_1F_2^2}{F_1^2 - F_2^2}\) и \[m = \frac{2F_1F_2^2}{g\,(F_1^2 - F_2^2)}.\]

Решение 2 («в лоб»). Пусть \(\alpha\) — угол между направлением силы \(N_1\) и горизонталью. Из условий равновесия катушки в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси и из равенства моментов относительно центра: \[\mu N_1\sin\alpha - N_1\cos\alpha = 0, \qquad N_1\sin\alpha + \mu N_1\cos\alpha = P + F_1, \qquad \mu N_1 r = F_1 R.\] Возведя первые два уравнения в квадрат и сложив, получаем \(N_1^2 + (\mu N_1)^2 = (P + F_1)^2\). Для второго случая (нить тянут горизонтально, рис. 19), аналогично, \[\mu N_2\sin\beta + N_2\cos\beta = P, \qquad N_2\sin\beta - \mu N_2\cos\beta = F_2, \qquad \mu N_2 r = F_2 R,\] откуда \(N_2^2 + (\mu N_2)^2 = P^2 + F_2^2\). Деля первое соотношение на второе, получаем \(\dfrac{(P + F_1)^2}{P^2 + F_2^2} = \dfrac{F_1^2}{F_2^2}\), откуда тот же ответ \[m = \frac{2F_1F_2^2}{g\,(F_1^2 - F_2^2)}.\] Примечание. Формально одним из решений является \(P = 0\), однако тогда равнодействующая силы реакции и силы трения должна быть противоположна силе \(F_1\) и направлена по той же прямой. Это возможно только при \(R = r\).