Источник стабильности

Тепло на резисторе \(R\) равно \(\int IR\,dq\) по протёкшему через него заряду. Найдите зависимость тока через \(R\) от заряда, прошедшего через \(R\), и вычислите площадь под графиком.

Пусть \(I\) — сила тока в резисторе \(R\), \(J\) — сила тока в резисторе \(r\), \(q\) — заряд, протёкший через резистор \(R\) после замыкания ключа (он равен заряду конденсатора). За достаточно малое время, для которого изменением напряжения на \(R\) можно пренебречь, выделившееся тепло равно \(\delta Q = U\,\Delta q = IR\,\Delta q\). Значит, полное тепло равно умноженной на \(R\) площади под графиком зависимости \(I(q)\). Из уравнений \[I_0 = I + J, \qquad Jr = IR + \frac{q}{C}\] получаем \(I_0 r = I(r + R) + \dfrac{q}{C}\). Таким образом, \(I(q)\) — прямая, пересекающая оси в точках \(\dfrac{I_0 r}{r + R}\) и \(CI_0r\). Площадь под ней \[S = \frac12\cdot\frac{I_0 r}{r + R}\cdot CI_0 r = \frac{CI_0^2r^2}{2(r + R)}.\] Отсюда \[Q = SR = \frac{CRI_0^2r^2}{2(r + R)}.\]