Разойдутся или нет?

Перейдите к относительному движению: задача сводится к движению одного заряда в поле неподвижного заряда и постоянном поле. Потенциальная энергия имеет минимум и при заданной энергии расстояние меняется между двумя корнями уравнения.

Из второго закона Ньютона найдём ускорение точки массы \(m\), \(a_1 = -\dfrac{kq^2}{mr^2} + \dfrac{qE}{m}\), и ускорение точки массы \(M\), \(a_2 = \dfrac{kq^2}{Mr^2} + \dfrac{qE}{M}\). Здесь \(r\) — расстояние между точками, \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\), положительное направление — от \(m\) к \(M\). Относительное ускорение точек: \[a_{\text{отн}} = a_2 - a_1 = \frac{kq^2}{r^2}\cdot\frac{M + m}{Mm} - qE\,\frac{M - m}{Mm}.\] Таким же уравнением описывается движение точечного заряда \(q\) массой \(\mu\) в поле неподвижного точечного заряда \(q\) и в однородном поле \(-E_1 = -E\dfrac{M - m}{M + m}\). Будем рассматривать эту эквивалентную задачу.

Потенциальная энергия заряда: \[U(r) = \frac{kq^2}{r} + qE_1 r.\] Из графика \(U(r)\) (рис. 22) видно, что движение происходит в ограниченной области \(l_1 \leqslant r \leqslant l_2\), где \(l_1\) и \(l_2\) — корни уравнения \(U_0 = \dfrac{kq^2}{r} + qE_1 r\), или \(r^2 - \dfrac{U_0}{qE_1}r + \dfrac{kq}{E_1} = 0\).

По теореме Виета произведение корней не зависит от \(U_0\) и равно \(l_1l_2 = l_0^2\), где \(l_0 = \sqrt{kq/E_1}\). Таким образом, если начальное расстояние \(l\) меньше, чем \(l_0\), то расстояние между зарядами будет увеличиваться до максимального значения \(l_0^2/l\), а затем уменьшаться. Если же \(l < l_0\), то начальное расстояние и будет максимальным. При \(l = l_0\) расстояние между зарядами меняться не будет.

Ответ: максимальное расстояние между зарядами равно \(l\) при \(l \geqslant \sqrt{kq/E_1}\) и равно \(\dfrac{kq}{lE_1}\) при \(l < \sqrt{kq/E_1}\).