Охлаждение гелия

В начале процесса \(P \propto V\), поэтому теплоёмкость линейно зависит от \(T\). Затем работа газа меняет знак; найдите температуру минимального объёма и используйте первый закон термодинамики на участках процесса.

По первому закону термодинамики \(Q = \Delta U + A\). Работу газа на начальном этапе охлаждения найдём как площадь под графиком (рис. 20): \[A = -\frac12(P_0V_0 - P_1V_1) = -\frac12(RT_0 - RT_1) = \frac{R}{2}\Delta T.\]

Следовательно, в начале процесса теплоёмкость равна \[C = \frac{\delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U + \delta A}{\Delta T} = C_V + \frac{R}{2} = 2R.\] Тогда теплоёмкость рассматриваемого процесса \[C = 2R\,\frac{T}{T_0}. \qquad (18)\] Работа газа будет отрицательной до тех пор, пока газ не примет минимальный объём (точка \(C\) на рис. 21). В этой точке \(\Delta V = 0\), а значит \[C = C_V + P\frac{\Delta V}{\Delta T} = C_V = \frac32 R. \qquad (19)\] Приравняв (19) к (18), найдём температуру \(T_c\), при которой объём газа достигает минимума: \(T_c = \dfrac34 T_0\).

Так как суммарная работа газа равна нулю, положительная работа \(A_+\) (площадь под участком \(CX\) графика) по модулю равна отрицательной работе \(A_-\) (площади под участком \(OC\)). Тепло, полученное газом на участке \(OC\), найдём как площадь под графиком \(C(T)\); график линейный: \[Q_{OC} = -\frac{2R}{T_0}\cdot\frac{T_0^2 - T_c^2}{2} = -\frac{7}{16}RT_0.\] Изменение внутренней энергии на этом участке: \(\Delta U = U_c - U_0 = C_V(T_c - T_0) = -\dfrac38 RT_0\), откуда \(A_{OC} = Q_{OC} - \Delta U = -\dfrac{RT_0}{16}\). Искомая работа \[A_{+} = A_{CX} = -A_{OC} = \frac{RT_0}{16}.\]

Найдём температуру \(T_x\), при которой работа становится равной нулю: \[A = Q - \Delta U = \frac{2R}{T_0}\cdot\frac{T_x^2 - T_0^2}{2} - C_V(T_x - T_0) = \frac{R}{T_0}(T_x - T_0)\left(T_x + T_0 - \frac32 T_0\right) = 0,\] откуда \(T_x/T_0 = 1/2\).