Аквариум
6/10Аквариум в виде куба с длиной стороны \(a = 40\) см заполнен водой доверху. Аквариум начинают очень медленно поворачивать вокруг одного из рёбер, так что угол \(\varphi\) между дном аквариума и горизонтальной поверхностью увеличивается на \(1^\circ\) каждые 10 секунд, при этом вода из аквариума вытекает. Скорость истечения воды количественно характеризует расход \(Q = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}\), равный массе воды, вытекающей из аквариума за малое время \(\Delta t\). Расход \(Q\) меняется в зависимости от угла \(\varphi\). Плотность воды равна \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).
Найдите (можно приближённо) массу воды, вытекающей из аквариума в первые 10 секунд.
Чему равен угол \(\varphi\) в момент, когда расход воды \(Q\) достигает максимального значения \(Q_{\max}\)?
Определите (можно приближённо) максимальное значение расхода \(Q_{\max}\).
Примечание. При решении задачи могут оказаться полезными следующие геометрические соотношения.
1) Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\) сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \(a^2 + b^2 = c^2\).
2) Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой \(1\) и малым острым углом \(\alpha\) приближённо равна \(S \approx \dfrac{\pi\alpha}{360^\circ}\) (\(\alpha\) измеряется в градусах). Малыми вполне можно считать углы меньше \(10^\circ\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаМасса воды, вылившейся за малое время, пропорциональна объёму тонкой клиновидной призмы с малым углом при вершине.
Ответ1) \(m_0 \approx 560\) г; 2) \(\varphi = 45^\circ\); 3) \(Q_{\max} \approx 112\) г/с.
Похожие задачи
- Сосуд сложной формы МОШ 2012/13, 8 кл.
- График давления в сосуде сложной формы МОШ 2012/13, 9 кл.
- Наполнение сосуда двумя кранами МОШ 2014/15, 7 кл.
- Фонтан Герона МОШ 2019/20, 7 кл.
- Слияние дорог в час пик МОШ 2020/21, 9 кл.
- Хвост автомобильной пробки МОШ 2012/13, 8 кл.