Скорость заполнения, потоки, «пробки»

Если заполнять бочку из красного шланга, по которому течёт горячая вода, то она наполнится за 40 минут. Если же наполнять её синим шлангом, по которому течёт холодная вода, то бочка наполнится за 24 минуты. За какое время наберётся бочка, если воспользоваться обоими шлангами?

В одной из газет в рубрике «Интересные факты» было написано: «Через отверстие в водопроводной трубе диаметром с иголку за месяц вытекает несколько кубометров воды». Однако, в газете ничего не было сказано о том, чему равна скорость тоненькой струйки воды, которая протекает через это отверстие. Допустим, что речь шла о тонкой иголке для шитья, диаметр которой равен 0,7 мм, а за месяц (30 дней) через такое отверстие вытекает 3 тонны воды. Чему равна при этих условиях скорость струйки воды? Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ответ выразите в м/с, округлите до целого числа.

К резервуару в форме полого вертикального цилиндра, площадь сечения которого равна \(S = 1\) м\(^2\), подведено две трубы. По первой трубе вода поступает в резервуар, причём скорость её течения постоянна и равна \(v_1 = 40\) см/с. При помощи второй трубы вода отводится из резервуара с постоянной скоростью \(v_2 = 20\) см/с. Площади сечения первой и второй труб равны: \(S_1 = 15\) см\(^2\) и \(S_2 = 10\) см\(^2\) соответственно. С какой скоростью \(u\) поднимается уровень воды в резервуаре? В ответе укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Дядя Вася хочет полностью наполнить две стоящие рядом бочки водой, не пролив её на землю. Он кладёт шланг в меньшую бочку, идёт к крану, открывает его и возвращается назад. После возвращения он ждёт 15 секунд, пока бочка заполнится, и перекладывает шланг в другую бочку. Подождав еще 2 минуты, дядя Вася возвращается к крану и закрывает его. Чему равно расстояние от бочек до крана, если дядя Вася ходит со скоростью 1 м/с, а вторая бочка по объёму вчетверо больше первой? Ответ выразите в м, округлите до целого числа.

На дно сосуда, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, поставили кубик. Площадь дна сосуда \(30\text{ дм}^2\). Сосуд наполняется водой из крана, кубик при этом не всплывает. Сначала уровень воды в сосуде поднимается со скоростью \(3\text{ мм/с}\), через некоторое время — со скоростью \(2\text{ мм/с}\). Определите площадь грани кубика. Ответ выразите в квадратных дециметрах и округлите до целых. Расход воды из крана считайте постоянным.

Дед Макар, наблюдая за тем, как бочка постоянного сечения наполняется водой во время дождя, занёс в таблицу зависимость уровня \(h\) воды в бочке от времени \(t\). В тот момент, когда дождь закончился, уровень воды в бочке составил 80 см. Изучая затем таблицу, дед вспомнил, что в момент времени \(t_1 = 9\) мин он включил насос, лежащий в бочке, который с постоянной скоростью откачивал воду.

Помогите ему проанализировать эти данные, а именно, определите:

1. время \(t\) после окончания дождя, за которое уровень воды опустится за счёт дальнейшей работы насоса с высоты 80 см до высоты 40 см;

2. объём воды \(V\), который находился в бочке в момент времени \(t_2 = 4{,}5\) мин, если площадь сечения бочки \(S = 5400\) см\(^2\);

3. объём \(q\) дождевой воды, которая попадала в бочку за одну минуту.

Школьник Вася проводит опыты с сосудом сложной формы. Наливая сверху в сосуд воду, Вася исследует зависимость высоты \(h\) установившегося уровня воды (в дециметрах) в сосуде от количества налитой воды \(V\) (в литрах). Полученные Васей результаты измерений представлены на графике, изображённом на рисунке, и в таблице:

Нарисуйте сосуд, с которым мог проводить свой опыт Вася. Укажите на рисунке размеры сосуда.

В цилиндрическую трубу постоянного сечения, частично заполненную толстым слоем орехов, снизу поступает вода со скоростью \(w = 0{,}5\) см/с. Орехи при этом всплывают как единое целое со скоростью \(u = 0{,}2\) см/с (скорости \(w\) и \(u\) отличаются потому, что между стенками трубы и орехами есть трение). Объём одного ореха \(\Omega = 25\) см\(^3\), в одном литре их содержится \(n = 30\) штук. Найдите скорость \(V\) подъёма уровня воды внутри слоя орехов (то есть границы между сухими и мокрыми орехами). Ниже уровня воды зазоры между орехами полностью заполнены водой, а выше этого уровня "— воздухом.

Поток автомашин движется по четырёхполосной магистрали. При этом средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Средняя длина автомобиля 4 метра. Вблизи места дорожно-транспортного происшествия количество полос, доступных для движения, уменьшается до двух, а скорость автомашин уменьшается до 6 км/ч. На рис. 1 приведена схема, изображенная без соблюдения масштаба. Если среднее расстояние между автомобилями при движении по магистрали \(x\) небольшое, то перед ДТП образуется пробка "— область, в которой машины движутся вплотную друг к друг с маленькой скоростью.

1. При каком среднем расстоянии \(x\) между автомобилями при их движении по магистрали произошедшее ДТП не приведёт к возникновению протяжённой пробки?

2. За полтора километра до ДТП на трассе располагается перекрёсток со светофором. За какое время после возникновения ДТП необходимо ликвидировать его последствия для дорожного движения, чтобы это не привело к затору на перекрёстке, если \(x = 16\) м?

Котёнок по имени Гав и щенок разжились двумя одинаковыми сосисками. После того, как они с двух концов съели первую сосиску, котёнок стал массивнее на 20 грамм. Вторую сосиску тоже ели с двух концов, но котёнок увеличил скорость поедания в два раза, и после поедания второй сосиски его масса стала ещё на 30 граммов больше. Скорость поедания сосиски щенком при этом не поменялась. Котёнок и щенок в обоих случаях начинали есть сосиску одновременно. Какова масса одной сосиски? Ответ выразите в граммах, округлите до целого числа.

Цилиндр заполнен материалом с множеством однородно распределённых пор, число которых в единице объёма цилиндра 100 см\(^{-3}\). Слева в цилиндр со скоростью \(u = 5\) см/c вдвигают поршень. Перед ним образуется область уплотнения, в которой объём каждой поры уменьшается на 5 мм\(^3\). Считайте, что плотность материала между порами не изменяется.

1. Найдите скорость \(v\) границы раздела уплотнённой и неуплотнённой части. Ответ выразите в см/с, округлите до целых.

2. Найдите число пор в единице объёма цилиндра в области уплотнения. Ответ выразите в см\(^{-3}\), округлите до целых.

Цилиндрическую бутылку частично заполняют водой и закрывают крышку. На поверхности бутылки делают отметку фломастером, которая совпадает с уровнем воды. Бутылка при этом находится в вертикальном положении. Бутылку переворачивают вверх дном, и уровень воды оказывается выше отмеченной риски. Из бутылки выливают пятую часть всей воды и закрывают крышку. Масса вылитой воды 75 г. Снова делают отметку на уровне воды и переворачивают бутылку. В этот раз после переворота риска совпала с уровнем воды. Расстояние между двумя рисками оказалось равным 1,5 см. Плотность воды 1 г/см\(^3\).

1. Найдите площадь поперечного сечения бутылки. Ответ выразите в см\(^2\), округлите до целого числа.

2. Чему равен объём бутылки? Ответ выразите в см\(^3\), округлите до целого числа.

В пустой контейнер засыпают песок с помощью двух конвейерных лент. Длина каждой ленты составляет \(L = 30\) м. Первая лента движется со скоростью \(v_1 = 3\) м/с, с неё в контейнер каждую секунду ссыпается \(m_1 = 20\) кг песка. Вторая лента движется со скоростью \(v_2 = 2\) м/с, с неё в контейнер каждую секунду поступает \(m_2 = 10\) кг песка. Ленты включают одновременно, в начальный момент они пусты. Песок начинают подавать на ленты на расстоянии \(L\) от контейнера сразу после их включения.

1. За какое наименьшее время после включения лент в контейнер будет загружено \(M = 4\) т песка?

2. Сколько килограммов песка поступит в контейнер с каждой ленты к моменту окончания загрузки?

На рисунке изображен сосуд сложной формы (одна клетка соответствует кубику с длиной ребра 1 дм). В левое колено сосуда начинают заливать воду со скоростью 1 литр в минуту. Определите, какой будет высота столба воды над точкой A через 2 минуты, через 3 минуты, через 6 минут, через 9 минут, через 11 минут и через 12 минут.

На рисунке изображен сосуд сложной формы (одна клетка соответствует кубику с длиной ребра 1 дм). В левое колено сосуда начинают заливать воду со скоростью 1 литр в минуту. Постройте график зависимости давления столба воды в точке А от времени (без учета атмосферного давления) за первые 12 минут. Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\), плотность воды равной 1000 кг/м\(^3\).

Школьник Николай проводит опыт по наполнению сосуда водой. Когда Николай открыл кран с горячей водой, электронные часы показывали 07:03. Когда сосуд заполнился на четверть (часы показывали 07:10), Николай дополнительно открыл кран с холодной водой. Когда сосуд заполнился до половины (на часах было 07:13), Николай закрыл кран с горячей водой. Каким может быть показание часов, когда сосуд заполнится полностью? При решении учитывайте, что часы показывают, например, время 07:03 в моменты времени от 7 ч 03 мин. 00 с до 7 ч 03 мин. 59,9999… с, а затем показание часов скачком изменяется на 07:04. Открывание и закрывание кранов производится очень быстро.

На рисунке ниже изображена схема «Фонтана Герона». Три сосуда с вертикальными стенками, площади оснований которых указаны на рисунке (\(S = 100\text{ см}^2\)), соединены системой трубок с площадью сечения \(S_1 = 10\text{ мм}^2\). Суммарный объём воздуха в нижних сосудах остаётся при работе фонтана постоянным.

Вся вода, выходящая из верхней трубки и образующая фонтан, в итоге оказывается в верхнем сосуде. Квадрат скорости воды \(v\) на выходе из трубки определяется выражением \[v^2 = \alpha (h_2 - h_1),\] где \(\alpha\) "— неизвестный коэффициент пропорциональности, расстояния \(h_1\) и \(h_2\) показаны на рисунке. В процессе работы фонтана расстояния \(h_1\), \(h_2\) и \(h_3\) меняются.

1. Как изменяется уровень воды в верхнем сосуде в процессе работы фонтана?

2. Найдите скорости изменения уровней воды в нижних сосудах в этот момент времени.

3. По истечении некоторого времени уровень воды в среднем сосуде опустится на величину \(h_3 = 6\) см, при этом нижний сосуд ещё не заполнится. Чему равна в этот момент скорость воды на выходе из трубки?

Рассмотрим объединение двух однополосных дорог \(A\) и \(B\) в однополосную дорогу \(C\). В часы пик все три дороги заполнены автомобилями. Среднее расстояние между двумя соседними автомобилями можно считать одинаковым на всех трёх дорогах. Длина дороги \(A\) равна \(L_A = 1\) км, дороги \(B\) — \(L_B = 3\) км, а дороги \(C\) — \(L_C = 2\) км. Средняя скорость автомобилей на дороге \(A\) составляет \(v_A = 3\) км/ч, а среднее время, за которое машины проезжают дорогу \(B\), равно \(t_B = 36\) мин. За какое время в среднем автомобиль добирается от начала дороги \(A\) до конца дороги \(C\)? Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

С какой скоростью растет «хвост» автомобильной пробки, образовавшейся из-за резкого снижения скорости на некотором участке дороги? До пробки автомобили движутся однородным потоком со скоростью 50 км/ч со средней плотностью 20 автомобилей на 1 км пути. В пробке скорость автомобилей снижается до 5 км/ч, и движутся они почти вплотную друг к другу со средней плотностью 125 автомобилей на 1 км пути.

Аквариум в виде куба с длиной стороны \(a = 40\) см заполнен водой доверху. Аквариум начинают очень медленно поворачивать вокруг одного из рёбер, так что угол \(\varphi\) между дном аквариума и горизонтальной поверхностью увеличивается на \(1^\circ\) каждые 10 секунд, при этом вода из аквариума вытекает. Скорость истечения воды количественно характеризует расход \(Q = \dfrac{\Delta m}{\Delta t}\), равный массе воды, вытекающей из аквариума за малое время \(\Delta t\). Расход \(Q\) меняется в зависимости от угла \(\varphi\). Плотность воды равна \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).

1. Найдите (можно приближённо) массу воды, вытекающей из аквариума в первые 10 секунд.

2. Чему равен угол \(\varphi\) в момент, когда расход воды \(Q\) достигает максимального значения \(Q_{\max}\)?

3. Определите (можно приближённо) максимальное значение расхода \(Q_{\max}\).

Зимой на входе в систему отопления школьного здания вода имеет температуру \(t_1 = +60\) °С. На выходе из этой системы вода имеет температуру \(t_2 = +40\) °С. Тепловые потери здания школы вследствие теплопроводности стен, излучения и сквозняков составляют \(N = 10^6\) Вт. Трубы, подводящие и отводящие воду, имеют внутренний диаметр \(D = 100\) мм. С какой средней по сечению труб скоростью течет в них вода? Удельная теплоёмкость воды \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot\)°C), плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).

Масса шприца с \(V_1 = 2\) мл лекарства равна \(m_1 = 13{,}5\) г, а с \(V_2 = 5\) мл лекарства \(m_2 = 18{,}0\) г. Площадь поршня шприца \(S_1 = 1\) см\(^2\). Диаметр внутреннего отверстия иглы в \(\alpha = 20\) раз меньше диаметра поршня. Определите массу \(m\) пустого шприца, плотность \(\rho\) лекарства и среднюю скорость \(u\), с которой лекарство выходило из иглы, если весь объем \(V_2\) был выпущен за время \(t = 10\) с.

Судно движется по каналу с проточной водой с относительной скоростью 10 км/ч. Длина канала 10 км. В первой половине канала течение воды 5 км/ч. Вторая половина канала вдвое уже первой, глубина при этом везде одинаковая. Найдите время, в течение которого судно проплывёт канал от начала до конца. Ответ выразите в минутах, округлите до целого числа.

В фонтан, изображённый на рисунке, по центральной трубке площадью поперечного сечения \(S = 50\) см\(^2\) подаётся вода, которая вертикально бьёт из отверстия, расположенного на уровне воды верхнего сосуда, на высоту \(h = 20\) см. Три верхних сосуда полностью заполнены водой, которая стекает из одного в другой, переливаясь через края сосудов. Четвёртый сосуд (считая сверху) — это широкая чаша. Чтобы поддерживать в ней почти постоянный уровень воды в течение длительного времени, по периметру чаши у её дна каждые \(\tau = 2\) мин на некоторый промежуток времени открываются горизонтальные трубки общей площадью \(S_0 = 900\) см\(^2\). Из этих трубок вода бьёт на расстояние \(L = 50\) см, считая по горизонтали, и попадает в пятый сосуд, где с помощью сливных каналов поддерживается постоянный уровень воды. Каждый следующий уровень воды расположен ниже предыдущего на \(H = 45\) см (расстояния измеряются между поверхностями воды). Какую скорость имеет вода при попадании в третий сосуд? На какой промежуток времени открываются горизонтальные трубки через каждые 2 минуты? Сопротивлением воздуха и вязкостью воды можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\).

На планете системы звезды Шедар один из пунктов зарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному роботу со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из дней роботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый час они приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часа скорость поступления роботов равномерно увеличивалась, составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часа скорость поступления роботов равномерно уменьшалась и упала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвёртом часу скорость прихода роботов равномерно падала, составив к концу часа 20 р/ч, и потом оставалась такой в течение пятого и шестого часов. На седьмом часу опять был равномерный подъём скорости поступления роботов — до 100 р/ч в конце часа, а на восьмом часу — наблюдалось равномерное убывание скорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдают очерёдность, а после зарядки сразу покидают пункт.

1. Сколько времени работал пункт в этот день, если были заряжены все роботы?

2. Какова наибольшая продолжительность пребывания робота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) в этот день?

В криогенном эксперименте поток газообразного азота, распространяющийся в вакуумной камере, направляется на охлаждаемую до низкой температуры \(T_c = -243^\circ\text{C}\) поверхность (криопанель), на которой газ может превращаться в твёрдое тело (процесс десублимации). Скорость потока азота равна \(v = 200\) м/с и направлена перпендикулярно криопанели, температура в потоке равна \(T_0 = -173^\circ\text{C}\). Определите максимальное значение плотности газообразного азота, при котором на криопанели десублимируется весь натекающий газ. Холодильное оборудование может обеспечить отвод тепла в количестве не более, чем 0,4 Дж с 1 см\(^2\) поверхности криопанели за 1 секунду. Удельная теплота сублимации азота равна \(L = 225\) кДж/кг. Удельная теплоёмкость азота (при данных условиях) равна \(c = 1{,}0\) кДж/(кг\(\cdot{}^\circ\text{C}\)). Площадь сечения потока на входе равна площади криопанели. Кинетической энергией натекающего газа можно пренебречь.

Два одинаковых цилиндрических сосуда соединены вблизи дна тонкой горизонтальной трубкой площадью сечения 1 см\(^3\). В первом сосуде находится жидкость плотностью \(\rho_1 = 0{,}9\) г/см\(^3\), во втором жидкость плотностью \(\rho_2 = 1{,}1\) г/см\(^3\). В соединительной трубке жидкости разделяет свободно двигающийся поршень, который изначально покоится посередине. В некоторый момент времени в сосуды одновременно доливают жидкости: в первый сосуд с плотностью \(\rho_1\), во второй с \(\rho_2\). Скорость поступления жидкостей в оба сосуда одинаковая и равна 50 см\(^3\)/с.

1. В каком направлении движется поршень?

2. С какой скоростью движется поршень? Ответ выразите в см/с, округлите до целого числа.

Легкая тонкостенная чаша в виде прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер \(a\), \(b\) и \(c\) свободно подвешена на горизонтальной оси так, что нижняя грань чаши с размерами \(a \times c\) горизонтальна, а верхняя открыта (то есть отсутствует — см. рисунок). Ось проходит перпендикулярно граням параллелепипеда с размерами \(a \times b\) в плоскости их симметрии на расстоянии \(h < b/2\) от нижней грани \(a \times c\). Чаша начинает наполняться водой со скоростью \(v\) м\(^3\)/с. Через какое время чаша опрокинется, повернувшись вокруг оси? Что с ней будет происходить в дальнейшем, если скорость наполнения не меняется?