Пинг-понг и каучуковый шарик

Оба шарика одинаково ускоряются и приходят к земле с одинаковой скоростью. Что происходит, когда нижний шарик отскакивает от земли и сталкивается с верхним? Удобно перейти в систему отсчёта, связанную с нижним шариком.

Шарики падают с одинаковым ускорением \(g\) и, следовательно, вместе достигают поверхности земли, имея одинаковые скорости. Так как между шариками есть небольшой зазор, произойдут два столкновения: сначала каучуковый шарик столкнётся с землёй, а потом каучуковый шарик и шарик от пинг-понга столкнутся между собой.

Скорости шариков до столкновения с землёй одинаковы и находятся из закона сохранения энергии: \[\frac{mv^2}{2} = mgh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh} .\] После упругого столкновения с землёй каучуковый шарик меняет скорость на противоположную. Столкновение шариков происходит так: шарики с одинаковыми скоростями \(v\) движутся навстречу друг другу (рисунок а). Скорость лёгкого шарика после столкновения удобно найти в системе отсчёта, связанной с нижним шариком. В ней нижний шарик покоится, а верхний движется навстречу со скоростью \(2v\) (рисунок б). Так как масса нижнего шарика много больше массы верхнего, после столкновения нижний остаётся на месте, верхний меняет скорость на противоположную. В системе отсчёта, движущейся относительно земли вверх со скоростью \(v\), верхний шарик имеет скорость \(2v\), а нижний покоится (рисунок в). Поэтому в системе земли нижний шарик имеет скорость \(v\), направленную вверх, а верхний — скорость \(3v\), направленную вверх.

Применяя закон сохранения энергии к подъёму шариков с начальной скоростью \(V\), получаем высоту \(H = \dfrac{V^2}{2g}\). Значит, нижний (тяжелый) шарик подпрыгнет практически на ту же высоту \(h\), с которой шарики падали, а верхний (легкий) — на высоту \(H = \dfrac{(3v)^2}{2g} = 9h\).