Взрыв заряда в колоколе

Осколки, застрявшие в колоколе, передают ему импульс, а суммарный импульс всех осколков равен нулю. Значит, колокол получает импульс от тех осколков, которые улетают в землю.

Осколки, застревающие в колоколе, передают ему свой импульс. Если бы колокол окружал заряд со всех сторон, то суммарный импульс осколков был бы равен нулю и колокол не двигался бы. Движение колокола связано с тем, что часть осколков попадает в землю и не передаёт колоколу свой импульс. По закону сохранения импульса импульс осколков, попадающих в колокол, равен импульсу осколков, попадающих в землю. Найдём последний.

В землю попадут все осколки, движущиеся после взрыва в конусе, опирающемся на основание колокола, с вершиной в точке взрыва.

Пусть при взрыве образовалось \(N \gg 1\) осколков. Суммарная энергия осколков \(E\), поэтому скорость каждого осколка (масса осколка \(m_1 = m/N\)) \[v = \sqrt{\frac{2E}{m}} .\] Осколки, движущиеся внутри бесконечно узкого конуса с углом раствора \(\Delta\alpha\), расположенного под углом \(\alpha\) к вертикали, составляют долю \(\Delta S/(4\pi r^2)\) от полного числа осколков, где \(\Delta S\) — площадь основания конуса, \(r\) — его высота. Импульс этих осколков \[\Delta p = \frac{\Delta S}{4\pi r^2}\, N m_1 v = \frac{\Delta S}{4\pi r^2}\sqrt{2mE} .\] Суммарный импульс этих осколков направлен вертикально вниз. Импульс осколков, попавших в землю, равен \[P = \sum \Delta p \cos\alpha = \sum \frac{\Delta S\cos\alpha}{4\pi r^2}\sqrt{2mE} .\] Величина \(\Delta S\cos\alpha\) равна проекции площади основания конуса на поверхность земли, поэтому сумма \(\sum \dfrac{\Delta S\cos\alpha}{4\pi r^2} = \dfrac{R^2}{4\left(R^2+h^2\right)}\). Отсюда суммарный импульс осколков, ушедших в землю, \[P = \frac{R^2\sqrt{2mE}}{4\left(R^2+h^2\right)} .\] Такой же импульс, направленный вверх, получит колокол, и его скорость сразу после взрыва \[V = \frac{P}{M} = \frac{R^2\sqrt{2mE}}{4M\left(R^2+h^2\right)} .\] (Массой осколков, застрявших в колоколе, пренебрегаем.) Высоту подъёма колокола найдём по закону сохранения энергии \(H = \dfrac{V^2}{2g}\): \[H = \frac{mER^4}{16\,g\,M^2\left(R^2+h^2\right)^2} .\]