Пуля пробивает шар на колонне

Горизонтальная составляющая импульса системы «шар + пуля» сохраняется при столкновении. После него оба тела падают с одной высоты, значит, время полёта у них одинаковое. Что даёт это время, если известны горизонтальные пути?

1) Пусть скорость шара после столкновения равна \(V\), а скорость пули — \(v\). Поскольку на систему «шар + пуля» не действует горизонтальная сила, горизонтальная составляющая импульса этой системы до столкновения и после него должна быть одинаковой: \[m v_0 = m v + M V \quad\Rightarrow\quad v = v_0 - \frac{M}{m} V .\] Из условия задачи следует, что \(v > V\). После столкновения и шар, и пуля продолжают свободное движение в гравитационном поле с начальными горизонтальными скоростями \(v\) и \(V\) соответственно. Движение шара и движение пули продолжаются в течение одного и того же времени, равного времени свободного падения с высоты \(h\): \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} .\] Пути, пройденные шаром и пулей за время \(t\), равны \(s = Vt\) и \(d = vt\) соответственно. Таким образом \[V = s\sqrt{\frac{g}{2h}} \quad\Rightarrow\quad v = v_0 - \frac{M}{m}\, s\sqrt{\frac{g}{2h}} .\] Отсюда получаем выражение и численное значение для искомого расстояния \(d\): \[d = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M}{m}\, s = 100\text{ м}.\]

2) Полная кинетическая энергия системы равнялась начальной кинетической энергии пули: \[E_0 = \frac{m v_0^2}{2} .\] Сразу после столкновения полная кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий пули и шара: \[E_m = \frac{m v^2}{2}, \qquad E_M = \frac{M V^2}{2} .\] Часть кинетической энергии, равная разности кинетических энергий до и после столкновения, переходит в теплоту: \[\Delta E = E_0 - (E_m + E_M) .\] Искомое отношение полученной теплоты к начальной кинетической энергии пули: \[\frac{\Delta E}{E_0} = 1 - \frac{E_m + E_M}{E_0} .\] Подставляя найденные соотношения для энергий и скоростей, получаем \[\frac{\Delta E}{E_0} = \frac{M}{m}\,\frac{s^2}{v_0^2}\,\frac{g}{2h} \left(\frac{2 v_0}{s}\sqrt{\frac{2h}{g}} - \frac{M}{m} - 1\right) = 92{,}8\%.\]