Кольцо из двух полуколец

Оба полукольца подключены к одним и тем же точкам, значит, они соединены параллельно. Во втором случае ветви одинаковы, и каждая состоит из двух последовательных половин. Сравните два выражения для суммарного тока.

Ситуация на рисунке эквивалентна подключению двух параллельно соединённых резисторов к внешнему напряжению. Сопротивления резисторов: \[R_a = \frac{\pi r \rho_a}{S}, \qquad R_b = \frac{\pi r \rho_b}{S},\] где \(r\) — радиус кольца. Общий ток через цепь есть сумма токов через параллельно подключённые резисторы: \[I_1 = \frac{U}{R_a} + \frac{U}{R_b},\] где \(U\) — внешнее напряжение. Подставляя выражения для сопротивлений, получаем \[I_1 = \frac{U S}{\pi r}\left(\frac{\rho_a + \rho_b}{\rho_a \rho_b}\right).\]

После повторного подключения кольца цепь снова состоит из двух ветвей, однако на этот раз ветви одинаковы, и каждая состоит из двух последовательно подключённых резисторов с сопротивлениями \(\dfrac{R_a}{2}\) и \(\dfrac{R_b}{2}\). Таким образом, суммарный ток через цепь после повторного подключения: \[I_2 = 2\,\frac{U S}{0{,}5 R_a + 0{,}5 R_b} = \frac{4 U S}{\pi r} \left(\frac{1}{\rho_a + \rho_b}\right).\] По условию \(I_2 = 0{,}64\,I_1 = \dfrac{16}{25} I_1\). Стало быть: \[\frac{16}{25}\,\frac{\rho_a + \rho_b}{\rho_a \rho_b} = \frac{4}{\rho_a + \rho_b}.\] Обозначим \(x = \dfrac{\rho_a}{\rho_b}\). Тогда последнее выражение можно представить как квадратное уравнение: \[4x^2 - 17x + 4 = 0 .\] Дискриминант \(D = 289 - 64 = 225 = 15^2\). Корни уравнения: \[x_1 = \frac{1}{4}, \qquad x_2 = 4 .\] Так как по условию \(\rho_a < \rho_b\), выбираем корень \(x_1 = \dfrac{1}{4}\). Таким образом, \[\frac{\rho_a}{\rho_b} = 0{,}25 .\]