Переливание воды между калориметрами

Каждый перелив — это теплообмен двух порций воды. Удобно выразить температуры через коэффициент \(k = \Delta m / m\) и заметить, что разность температур после каждого полного цикла умножается на одну и ту же постоянную.

1) Из уравнения теплового баланса определим разность температур после первого переливания для воды из первого калориметра (с меньшей температурой) и перелитой водой массы \(\Delta m\). Выразим температуру \(t_1\), установившуюся в первом калориметре: \[c m (t_1 - t_{01}) = c\,\Delta m\,(t_{02} - t_1) \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{m t_{01} + \Delta m\, t_{02}}{m + \Delta m} = \frac{k t_{02} + t_{01}}{k + 1},\] где \(k = \dfrac{\Delta m}{m} = 0{,}25\).

2) После переливания воды обратно во второй калориметр: \[c(2m - \Delta m)(t_{02} - t_2) = c\,\Delta m\,(t_2 - t_1) \quad\Rightarrow\quad 2 t_2 = (2 - k) t_{02} + k t_1 = \frac{k(t_{01} + t_{02}) + 2 t_{02}}{k + 1} .\] Тогда разность температур в двух калориметрах после этого переливания будет равна \[t_2 - t_1 = \frac{2 - k}{2(1 + k)}\,(t_{02} - t_{01}) = 42^\circ\text{C}.\]

3) Если повторить всю процедуру ещё раз, то получим \[t_4 - t_3 = \frac{2 - k}{2(1 + k)}\,(t_2 - t_1) = \left[\frac{2 - k}{2(1 + k)}\right]^2 (t_{02} - t_{01}) = 29^\circ\text{C},\] где \(t_3\) — температура первого калориметра после второй процедуры, \(t_4\) — температура второго калориметра после второй процедуры.

Повторяя процедуру \(n\) раз, получим условие на разность температур в калориметрах после \(n\)-й процедуры: \[\left[\frac{2 - k}{2(1 + k)}\right]^n (t_{02} - t_{01}) = t_{2n} - t_{2n-1} < 12^\circ\text{C}.\] Поскольку \(\dfrac{2 - k}{2(1 + k)} = 0{,}7\) и \(t_{02} - t_{01} = 60^\circ\text{C}\), упростим неравенство: \[0{,}7^n < \frac{1}{5} \quad\Rightarrow\quad n \geq 5 .\] Таким образом, для достижения разности температур в калориметрах меньше \(12^\circ\text{C}\) нам придётся повторить всю процедуру 5 раз.