Разрыв снаряда на три осколка

Импульс системы осколков до разрыва равен нулю, значит, скорости осколков образуют симметричную картину, и углы между ними равны \(120^\circ\). Дальше запишите высоты всех трёх осколков как функции времени.

Закон сохранения импульса применим к движению осколков: \(m\vec v_{01} + m\vec v_{02} + m\vec v_{03} = 0\). Так как все осколки имеют одинаковую массу, \(\vec v_{01} + \vec v_{02} + \vec v_{03} = 0\).

1) Поскольку \(|v_{01}| = |v_{02}| = |v_{03}| = v_0\), векторы скорости образуют между собой углы \(120^\circ\), поэтому \(\alpha = 30^\circ\). После перехода к проекциям скоростей на оси: \[v_{01x} = 0, \quad v_{02x} = v_0\cos\alpha, \quad v_{03x} = -v_0\cos\alpha,\] \[v_{01y} = -v_0, \quad v_{02y} = v_0\sin\alpha, \quad v_{03y} = v_0\sin\alpha .\] Тогда движение фрагментов можно описать уравнениями: \[y_1 = H - v_0 t - \frac{g t^2}{2}, \qquad y_{2,3} = H + \frac{v_0 t}{2} - \frac{g t^2}{2} .\] В момент удара о землю 1-го осколка \(y_1 = 0\), в момент удара о землю 2-го и 3-го осколков \(y_{2,3} = 0\). Тогда можно найти начальную скорость и высоту: \[0 = H - v_0 T_1 - \frac{g T_1^2}{2}, \qquad 0 = H + \frac{v_0 T_2}{2} - \frac{g T_2^2}{2} .\] Выразим \(v_0\) из первого уравнения и подставим во второе: \[v_0 = \frac{H - \frac{g T_1^2}{2}}{T_1},\] откуда \[H = \frac{g T_1 T_2 (T_1 + 2T_2)}{2(2T_1 + T_2)} = 312{,}5\text{ м}.\]

2a) Вычтем уравнение движения первого осколка из уравнения движения второго и третьего осколков: \[v_0\left(T_1 + \frac{T_2}{2}\right) + \frac{g T_1^2}{2} - \frac{g T_2^2}{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{T_2^2 - T_1^2}{2T_1 + T_2}\, g = 37{,}5\text{ м/с}.\]

2b) Для нахождения конечных скоростей используем закон сохранения энергии. Поскольку все осколки падают с одинаковой начальной скоростью с одной высоты, конечная скорость осколков будет одинаковой: \[m g H + \frac{m v_0^2}{2} = \frac{m v_k^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v_k = \sqrt{v_0^2 + 2 g H} = 87{,}5\text{ м/с}.\]

3) Решим задачу аналитически. Если \(\beta\) — угол наклона вектора скорости к оси \(x\), то в общем случае для всех трёх фрагментов будет верно: \[x = v_0\cos\beta\, t, \qquad y = H + v_0\sin\beta\, t - \frac{g t^2}{2} .\] Из этих уравнений следует: \[\cos\beta = \frac{x}{v_0 t}, \qquad \sin\beta = \frac{y + \frac{g t^2}{2} - H}{v_0 t} .\] Используя соотношение \(\cos^2\beta + \sin^2\beta = 1\), получаем \[x^2 + \left(y + \frac{g t^2}{2} - H\right)^2 = v_0^2 t^2 ,\] что представляет собой уравнение окружности с центром в точке \(\left(0,\; H - \frac{g t^2}{2}\right)\) и радиусом \(r = v_0 t\).